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第五章、特征值、特征向量 思考與點撥 特征值、特征向量是線性代數的重要內容，是考研的重點之一。 共有三部分要求：
1.理解特征值、特征向量的概念和性質，會求矩陣An×n的特征值、特征向量，一般求An×n的特征值、特征向量有兩條思路。 (1)利用定義，求滿足定義Aξ=λξ(ξ≠0)的λ和ξ，一般適用于抽象矩陣。 若An×n有特征值λ，對應的特征向量為ξ，則利用定義可求得A2，Ak，f(A)是多項式)的特征值為λ2，λk，f(λ)當A可逆時，則A-1，A＊，…，對應的特征值為1/λ,︳A ︳/λ，…，(如題1.1)，特征向量仍是ξ。
(2)利用特征方程求︳λE－A︳=0，再由(λE－A )x=0求出基礎解系得對應于λ的線性無關特征向量，一般適用于具體的數值矩陣。 顯然對角陣，上、下三角陣的特征值為對角元素(特征向量是什么?).當r(A)=r<n< span="">時，A有特征值λ=0，對應的特征向量是AX=0的基礎解系，故共有n－r(A)個線性無關特征向量，λ=O至少是n－r(A)重特征值，An×n中每行元素和為k時，則λ=k，對應的特征向量是ξ=[1，1，…1]T。(如題1.2)。 反之應會利用特征值、特征向量的定義，建立方程，來確定參數(如題3 1)。 關于特征值、特征向量還有許多性質，如，在計算行列式及求特征值時均可利用。
2.矩陣的相似對角化，理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角陣的方法。 應會用矩陣可相似對角化的充耍條件，討論含參矩陣何時能相似對角化(如題3.6)，會利用相似的概念和性質來確定參數。 應會利用特征值、特征向量反求矩陣A，會利用相似對角陣，計算︳A ︳，An，Anβ等。
3.實對稱矩陣的相似對角化：實對稱陣特征值是實數，不同特征值對應的特征向量相互正交，實對稱陣必存在可逆陣P，使得P-1AQ=Λ ，且存在正交陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ，即實對稱陣必既相似于對角陣，又合同于對角陣。
用正交矩陣將實對稱陣A相似對角化，要將特征向量標準正交化，不同特征值對應的特征向量已相互正交，對A的r重特征值對應的r個特征向量應用Schmidt正交化方法正交化(或求特征向量時，考慮到正交化)對實對稱陣，還可用不同特征值對應的特征向量相互正交的性質，求特征向量。
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樓主
樓主: 華工引路人
