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第六章、多元函數積分學
思考與點撥 多元函數積分學包括各類積分的概念、計算和應用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其應用；平面曲線積分與路徑無關及全微分式的原函數問題等.在歷年的考試中多元函數積分學占有最重要的地位，平均分數約占高等數學總分的1／4. 本章的考題類型及知識點大致有： 1.二重積分的計算及應用： (1)二重積分在直角坐標中的計算(單獨未考過，在其他題中出現過)； (2)二重積分在極坐標中的計算與直極互化(2006二(8)題，2001八題，2005三(15)題，2006三(15)題)； (3)交換積分次序(2001一(3)題，2004二(10)題，1990一(4)題考過)； (4)絕對值函數的二重積分(二次積分)的計算(未考過)； (5)分塊函數的二重積分(二次積分)的計算(2002五題，2005三題)； (6)利用對稱性、輪換對稱性化簡計算(2003五題，2006三(15)題，2009～(2)題)； (7)二重積分的證明題與二重積分的估值(2003五題)； (8)三重積分的應用(2001八題).
2.三重積分的計算及應用： (1)三重積分在直角坐標中的計算(單獨未考過)； (2)三重積分在球面坐標與柱面坐標中的計算(2005一(4)題，2006一(3)題，1997三(1)題，2000八題，2003八題，2009二(12)題)； (3)利用對稱性、輪換對稱性化簡計算(2000八題，1995三(2)題考過)； (4)三重積分的應用(2000八題). 3.化多重積分為定積分： (1)化二重積分為變限積分求導問題(2004二(10)題)； (2)化二重積分為定積分求其中未知函數(數學(三)1997八題考過)； (3)化其它積分為定積分或二重積分的證明題(2003五題，2003八題).
4.第一型曲線積分與第型曲面積分： (1)計算(1999八題，2009二(11)題)； (2)利用對稱性、輪換對稱性化簡(1998一(3)題，2000二(2)題，2007二(14)題)； (3)應用(未考過). 5.平面第二型曲線積分及應用： (1)用參數式計算(2004—(3)題，2000五題，2003五題)； (2)用格林公式或加、減弧段格林公式法(1999四題，2003五題，2008三(16)題)； (3)路徑無關問題與原函數法(1998四題，1999四題，2002六題，2005三(19)題，2006三(19)題，2007一(6)題)； (4)與微分方程有關的問題(2005三(19)題)； (5)挖洞法(2000五題)； (6)應用(1990九題考過). 6.第二型曲面積分及應用： (1)用投影法計算(1998六題，2001六題，2004三(17)題)； (2)用高斯公式或加、減曲面片高斯公式法(2005一(4)題，2006一(3)題，1998六題，2000六題，2004三(17)題，2007三(18)題，2008二(12)題)； (3)轉換投影法或化成第一型曲面積分計算(2001六題，2004三(17)題)； (4)挖洞法(2009三(19)題)； (5)與微分方程有關的問題(2000六題). 7.空間第二型曲線積分： (1)用參數式計算(1997三(2)題，2001六題)； (2)用斯托克斯公式計算(1997三(2)題，2001六題)； 由以上可見，本章在數學(一)中的地位至關重要，考分占總分的1／6，考得最多的是(1)二重積分：包括極坐標中計算，交換積分次序，利用對稱性、輪換對稱性化簡計算； (2)三重積分：包括在球面坐標、柱面坐標中的計算，利用對稱性、輪換對稱性化簡計算； (3)平面第二型曲線積分：包括用參數式計算，用格林公式或加、減弧段格林公式計算，路徑無關問題的討論與路徑無關問題計算該積分，原函數法與求原函數，與微分方程相結合的題； (4)第二型曲面積分：包括用投影法計算，用高斯公式或加、減曲面片高斯公式法計算，轉換投影法計算或化成第一型曲面積分計算，與微分方程相結合的題。
以上各類題的計算，都有一套規X的方法.關鍵是選擇方便而有效的方法，可以起到事半功倍的作用.以上諸項中，“3”以及“5(3)”，有時涉及一些理論，可能會有點困難.但是，正如俗話所說“熟能生巧”，熟了也就不難了。 | 
樓主
發表于 2021-9-23 10:44
樓主: 華工引路人
