有意思（22）流行資料上的一個錯題的認識深化

戰地黃花 · 發表于 2011-12-22 19:54

某流行資料上有一個錯題，“已知φ′（x）+ φ（x）>0，試確定φ（x）sin x在（0，π/2）的苻號”。

學生問這個題的時候，匆忙中感到要用指數函數做積分因子來處理。后來作定向思維，心里總覺得怪怪的，這題為啥沒有初始信息。

左想右想不得解，隨手翻翻解答，竟然寫了半頁。心存疑惑也沒細看。

φ′（x）+ φ（x）> 0表達了增長率與函數值的符號關系。

就算增長率恒為正，函數值也可正可負，φ（x）sin x怎么能定號呢？

單調性討論連續函數的符號，導數定號配合初始信息或終端信息，缺一不可。就算增長率很大，比如中國經濟年增長率10%，美國2%，但兩者初始經濟量差別很大，你不能說中國經濟量就大于美國經濟量。

由于指數函數exp（x）恒正，故若 φ′（x）+ φ（x）> 0 則

exp（x）（φ′（x）+ φ（x））> 0 ，即（φ（x）exp（x））′ > 0

如果有初始信息φ（0）≥ 0 ，則有 φ（x）> 0，從而φ（x）sin x在（0，π/2）為正。

如果φ（0）< 0呢？是否可能有φ（0）< 0，我又想到了指數函數exp（x）

假如取 φ（x）= —exp（—2x），則φ′（x）= 2exp（—2x），且 φ′（x）+ φ（x）> 0

這時就有，φ（x）< 0 ，從而φ（x）sin x在（0，π/2）為負。

再去翻資料上的解答，一下就看到了錯處。

liuxin1426 · 發表于 2011-12-22 19:58

每日一頂！

范凡奇 · 發表于 2012-2-7 11:24

動手算了算，思路和老師基本一樣。我是從結果假定符號是正、負，分別舉例子，向已知式子推算。但不是用指數函數，而是二次函數來算，想著簡單。還是漏掉了可以已知為正，答案為負的第二種情況。這次記住了…謝謝啦！{:soso_e189:}

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