有意思（15）三階方陣特征向量的幾何分析

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-11-2 08:06

特征理論基礎(chǔ)知識(shí)部分，“重特征值特征向量問題”是難點(diǎn)，是重點(diǎn)，也是關(guān)鍵。
      赫爾德曼當(dāng)年榮獲“菲爾茨獎(jiǎng)”（數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)，只獎(jiǎng)給40歲以下的年輕人。）起步工作就是“拓?fù)湎蛄靠臻g中的重特征理論”。我啃了一兩年，就只懂了一點(diǎn)點(diǎn)。
      二,三維空間中的向量問題,可以聯(lián)系平面及真實(shí)空間思考,從幾何角度幫助自己理解向量及特征向量的問題。考研數(shù)學(xué)年年在《線性代數(shù)》第二板塊出大題，基本上都是討論三階方陣。因而更應(yīng)該借助真實(shí)空間背景，把這個(gè)特殊情形想深想透。
      矩陣A的單特征值擁有的特征向量集的秩 = 1，
   （潛臺(tái)詞：（A-λE）x = 0解集秩為1）
      這樣一來，如果λ是n階方陣A的單特征值，則有“反控制”： r(A-λE)= n-1
            在重特征情形，只能有，
         “A 的k重特征值擁有的特征向量集的秩 ≤ 特征值的重?cái)?shù)k”
      （畫外音：在微分方程理論中，把“k重特征值的特征向量集的秩 < 特征值重?cái)?shù)k”的情形。稱為A的“k重特征值有虧損”。其直接后果就是A不能與對(duì)角陣相似。)
      對(duì)于三階方陣而言
      （1）若三階方陣A有3個(gè)單特征，則A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量組成三維向量空間的最大無關(guān)組。每一個(gè)三維向量可以由它們唯一地線性表示。所以稱它們是空間的一組（斜）“坐標(biāo)基”。
      空間中只有三個(gè)特征方向。平行于其中一個(gè)方向的向量，才是A的特征向量。
      若三階方陣A是對(duì)稱陣，則三個(gè)特征方向兩兩正交。
      （2）若三階方陣A有一個(gè)單特征，一個(gè)二重特征。且二重特征值擁有的特征向量集的秩就為2 ，這時(shí)，單特征對(duì)應(yīng)有一個(gè)特征方向。屬于二重特征的特征向量則都平行于同一平面。平行于特征方向或平行于這張平面的的向量，才是A的特征向量。
      (畫外音：英文文獻(xiàn)上說，這個(gè)二維空間（“平面”）是由最大無關(guān)組的兩個(gè)向量，（按平行四邊形法則）象蜘蛛織網(wǎng)那樣“spun”成的。):
      若三階方陣A是對(duì)稱陣，則特征方向就是那張平面的法方向。
      垂直于平面法方向的向量一定與平面平行。因而在此情形，與單特征方向正交的向量，一定是A的屬于二重特征值的特征向量。
      要注意的是，若一個(gè)向量只與A的屬于二重特征值的特征向量正交，那它既不一定與“那張平面”正交，也不一定屬于該平面，也就不一定是A的特征向量。
      （3）若三階方陣A有三重特征值λ，且λ不虧損。則有推理：
      —→  A的屬于λ的特征向量集的秩 = 3
               —→（A-λE）x = 0解集秩為3
               —→  因?yàn)椋ǎˋ-λE）x = 0解集秩）= 3-r (A-λE)，只有r (A-λE) = 0
               —→  只能A =λE
            逆向思維：太特殊了！“重特征值有虧損”，應(yīng)該是常有的事。
      三重特征值λ擁有的特征向量集的秩可能為1 ，這時(shí)，用四川話說就是，“λ虧慘了。”

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-11-2 10:24 編輯 ]

wjzxwj · 發(fā)表于 2010-11-2 08:29

老師的sofa

scl1989 · 發(fā)表于 2010-11-2 08:42

板凳……

LmYjQ · 發(fā)表于 2011-10-6 14:47

很有啟發(fā) 跟書本上的很不一樣謝謝老師

milnor · 發(fā)表于 2012-12-2 20:45

您好！在下斗膽概括下您的觀點(diǎn)，線性變換的特征值的幾何重?cái)?shù)不超過其代數(shù)重?cái)?shù)，當(dāng)其方陣可對(duì)角化時(shí)等號(hào)成立。鄙人不才，疏漏之處，還望閣下批評(píng)指出。

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有意思（15）三階方陣特征向量的幾何分析

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