有意思（10）連續(xù)，可導(dǎo)，里普希慈條件

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-7-5 07:30

函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，隱含函數(shù)在此點(diǎn)鄰近有定義。
      函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)必定在此點(diǎn)連續(xù)?！翱蓪?dǎo)”條件強(qiáng)于“連續(xù)”。
      函數(shù)在一點(diǎn)二階可導(dǎo)，則函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)必定在此點(diǎn)連續(xù)，且一階導(dǎo)數(shù)在此點(diǎn)鄰近有定義。
      函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是，（以此點(diǎn)為參照。）當(dāng)Δx 趨于0 時(shí)必有Δ y 趨于0
            若函數(shù) f (x) 在某區(qū)間內(nèi)有定義，且對(duì)區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn) x1 ，x2 總有
               ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣，C為常數(shù)
就稱函數(shù)f (x) 在該區(qū)間內(nèi)滿足里普希茲條件。
      此時(shí)，若任選區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)為中心點(diǎn)，自然有       ∣Δ y∣≤ C∣Δx ∣
   （潛臺(tái)詞：函數(shù)增量被自變量增量所控制。）
      這就表明，函數(shù)f (x) 必定連續(xù)?！袄锲障Ｆ潡l件”強(qiáng)于“連續(xù)”。
      但是，進(jìn)一步只能有 ∣Δ y / Δx∣≤ C  ，有界不一定有極限。滿足里普希茲條件，不能說(shuō)明函數(shù)可導(dǎo)。

      若函數(shù)f (x) 在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)有界，∣fˊ(x) ∣≤ M
則, 對(duì)區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)x1、x2，總可以運(yùn)用拉格郎日公式得
               ∣f (x1)-f (x2) ∣=∣fˊ(ξ)∣∣x1-x2 ∣，ξ在x1與x2之間
于是 ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ M∣x1-x2 ∣，即函數(shù)f (x) 在該區(qū)間內(nèi)滿足里普希茲條件。
      綜合上述，有
            “可導(dǎo)”條件強(qiáng)于“里普希茲條件”， “里普希茲條件”強(qiáng)于“連續(xù)”。

      有趣的是，函數(shù)f (x) 可不可能在某區(qū)間內(nèi)滿足下述條件呢？
      對(duì)區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn) x1 ，x2 總有
         ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣的（1+α）次方  ， C，α 都是正常數(shù)
      此時(shí)，若任選區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)x0為中心點(diǎn)，自然有
            ∣Δ y∣≤ C∣Δx∣的（1+α）次方，即  ∣Δ y / Δx∣≤ C的α次方
令Δx 趨于0 ，可得  ∣fˊ(x0)∣= 0
            由點(diǎn)x0 的任意性知，在某區(qū)間內(nèi) ∣fˊ(x)∣≡ 0 ，即 fˊ(x)≡ 0，f (x) 必為常函數(shù)。
            逆向思維，這個(gè)條件太苛刻了。一般函數(shù)都不能滿足它。
      一元微積分講究條件，基本條件要記得準(zhǔn)確。

wubingwinner · 發(fā)表于 2010-7-5 07:40

支持一個(gè) 剛剛拜讀完還要時(shí)間理解

agming · 發(fā)表于 2010-7-5 08:14

留個(gè)腳印，感謝老師~~

灰太男 · 發(fā)表于 2010-8-17 20:28

頂起。樓主萬(wàn)歲

老牛一頭 · 發(fā)表于 2010-8-17 20:50

關(guān)于函數(shù)中的絕對(duì)值，每次題中出現(xiàn)后，很是頭疼。。。。。。。唉。

kyltpy · 發(fā)表于 2010-11-30 07:36

感謝！

水門@魚兒 · 發(fā)表于 2011-5-21 15:04

真不錯(cuò)啊啊

水門@魚兒 · 發(fā)表于 2011-5-21 15:05

太好了太有用了

jocelyn52 · 發(fā)表于 2011-6-9 14:17

謝謝樓主~

jackina · 發(fā)表于 2012-3-6 19:39

謝謝老師

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