考研數(shù)學(xué)講座（8）求導(dǎo)熟練過大關(guān)

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-3-2 07:31

函數(shù)在一點(diǎn)x0可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)值也就是函數(shù)圖形在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線斜率。從這個(gè)意義出發(fā)，我們有時(shí)把函數(shù)可導(dǎo)說(shuō)成是“函數(shù)光滑”。
   1  典型的不可導(dǎo)
   可導(dǎo)一定連續(xù)。函數(shù)的間斷點(diǎn)自然是不可導(dǎo)點(diǎn)。這是平凡的。我們感興趣的是函數(shù)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)。
   最簡(jiǎn)單也最實(shí)用的反例是絕對(duì)值函數(shù) y =∣x∣。這是一個(gè)分段函數(shù)。還原成分段形式后，在點(diǎn)x = 0 兩側(cè)分別用定義計(jì)算，易算得右導(dǎo)數(shù)為 1 ，左導(dǎo)數(shù)是－1
         進(jìn)一步的反例是 y =∣sinx∣在點(diǎn) x = 0 和 y =∣lnx∣在點(diǎn) x = 1 連續(xù)而不可導(dǎo)。
   從圖形變化上去看一個(gè)連續(xù)函數(shù)取絕對(duì)值，那是件非常有趣的事情。
   連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間不變號(hào)。如果恒正，每一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值就是自已。在這兩個(gè)零點(diǎn)間的函數(shù)圖形不變。如果恒負(fù)，每一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值都是它的相反數(shù)。這兩個(gè)零點(diǎn)間的函數(shù)圖形由x軸下面對(duì)稱地反射到了x 軸上方。
   y =sinx  在原點(diǎn)的左側(cè)鄰近為負(fù)，右側(cè)鄰近為正。它的圖形在原點(diǎn)右側(cè)段不變，將左側(cè)段對(duì)稱地反射到上半平面，就是y =∣sinx∣的圖形。反射使得圖形在原點(diǎn)處形成一個(gè)尖角，不光滑了。
   這是否是一個(gè)普遍規(guī)律？不是！比如 y = x立方與 y = | x立方 |  在 x = 0 點(diǎn)都可導(dǎo)。
   函數(shù) y = x立方的圖形叫“立方拋物線”。在點(diǎn) x = 0，函數(shù)導(dǎo)數(shù)為 0，圖形有水平的切線橫穿而過。（潛臺(tái)詞：真有特色啊，突破了我們?cè)械那芯€印念。）要是取絕對(duì)值，圖形的原點(diǎn)左側(cè)段對(duì)稱地反射到上半平面，但水平的切線保持不變。新函數(shù)仍然光滑。這里的關(guān)鍵在于，函數(shù)值為0，導(dǎo)數(shù)值也為0，x = 0 是立方函數(shù)的重零點(diǎn)。
   綜合上述, 在f (x) 恒為正或恒為負(fù)的區(qū)間上，曲線 y = | f (x) | 和曲線 y = f (x) 的光滑性是一致的。只有在f (x) 的零點(diǎn)處，才可能出現(xiàn)曲線 y = f (x)光滑而曲線 y = | f (x) | 不光滑的狀況。
         數(shù)學(xué)三的考巻上有過這樣的4分選擇題。
   例31 f (x) 在點(diǎn)x = a 可導(dǎo)，則 | f (x) | 在 x = a 不可導(dǎo)若函數(shù)的充分必要條件是
               （A） f (a) = 0且 f ′(a) = 0    （B） f (a) = 0 且 f ′(a) ≠ 0
                              （C） f (a) > 0 且f ′(a) > 0    （D） f (a) > 0 且 f ′(a) ＜ 0
         分析  如果沒有思路，首先聯(lián)想 y = x  與 y =  | x | 即可排除（A）；
   俗語(yǔ)說(shuō)，連續(xù)函數(shù)“一點(diǎn)大于0，則一段大于0”；相應(yīng)絕對(duì)值就是自己。（C）（D）顯然都錯(cuò)；只有選（B）。
   （畫外音：如果用代數(shù)語(yǔ)言，f (x)可導(dǎo)，f (a) = 0，而f ′(a) ≠ 0，則點(diǎn)a是f (x)的單零點(diǎn)。這道題該算擦邊題。）
   2．討論深化
   我在講座（2）中舉例，“連續(xù)A + 不連續(xù)B = ？”
   如果，“連續(xù)A + 不連續(xù)B = 連續(xù)C”  則  “ 連續(xù)C －連續(xù)A = 不連續(xù)B”
這與定理矛盾。所以有結(jié)論： 連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。
   推理的關(guān)鍵在于，逆運(yùn)算減法可行。
         自然類似有：可導(dǎo)A +（連續(xù) ）不可導(dǎo)B  = 不可導(dǎo)C。比如 y = x +∣sinx∣在點(diǎn) x = 0 不可導(dǎo)。
   例32 函數(shù) f（x）=∣sin x∣+∣cos x∣的不可導(dǎo)點(diǎn)是（？）
   分析函數(shù)為“和”結(jié)構(gòu)。無(wú)論是∣sin x∣的不可導(dǎo)點(diǎn)或∣cos x∣的不可導(dǎo)點(diǎn)，都是 f 的不可導(dǎo)點(diǎn)。即
            x = kπ  與  x = kπ +π/2 ，k = 0，±1，±2，…
      更深化的問題是： 可導(dǎo)A × (連續(xù))不可導(dǎo)B ，是可導(dǎo)還是不可導(dǎo)？    比如 y = x ∣x∣在點(diǎn)0可導(dǎo)嗎？
      與“和”的情形相比，積的逆運(yùn)算不一定可行。  當(dāng)且僅當(dāng) A≠0 時(shí)，才有 C/A = B  所以
   結(jié)論1，若 f（x）在點(diǎn) x0 可導(dǎo)，且 f（x0）≠ 0，g（x）在點(diǎn)x0 連續(xù)不可導(dǎo)，則積函數(shù) y= f（x）g（x）在點(diǎn) x0 一定不可導(dǎo)。
   結(jié)論2（*例33）已知函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x = a 可導(dǎo)，函數(shù) g (x) 在點(diǎn) x = a 連續(xù)而不可導(dǎo)，試證明
            積函數(shù)  F（x）= f（x）g（x）在點(diǎn) x = a 可導(dǎo)的充分必要條件是 f (a) = 0.
          證明先證充分性，設(shè)  f (a) = 0  則  F (a) = 0
         令 h→0 , F ′(a) = lim (F(a+h)－F（a））/ h = lim f(a+h) g（a+h）/ h
                                             = (lim (f(a + h) －f（a）)/ h ) lim g（a + h）
                        = f ′(a) g（a）
   再用反證法證必要性。設(shè)函數(shù)F (x)在點(diǎn)x = a可導(dǎo)而f (a) ≠ 0.，則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）在點(diǎn)x = a的某鄰域內(nèi)恒不為零。逆運(yùn)算除法可行。由結(jié)論1知矛盾。
   例34 設(shè)函數(shù) f（x）可導(dǎo)，F(xiàn)（x）= f（x）（1+∣sinx∣），則 f（0）= 0 是F(x)在x = 0處可導(dǎo)的
               （A）充分必要條件。       （B）充分而非必要條件。
               （C）必要而非充分條件。    （D）既非充分又非必要條件。    （選（A））
      分析 1+∣sinx∣是可導(dǎo)函數(shù)+連續(xù)不可導(dǎo)函數(shù)類型，在0點(diǎn)仍然連續(xù)但不可導(dǎo)。由上例結(jié)論知應(yīng)選（A）
      例35   函數(shù) y =（x平方－x－2）∣x立方－x∣的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是
                  （A）3       （B）2       （C）1          （D）0
           分析  函數(shù) y 具“積”結(jié)構(gòu)。y = f（x）g（x），可導(dǎo)函數(shù) f（x）= x平方－x－2 只有兩個(gè)零點(diǎn) x = –1，x = 2，而連續(xù)函數(shù) g（x）= ∣x立方－x∣有不可導(dǎo)點(diǎn) x = 0，x = 1，x = –1；（即 x3－x 的三個(gè)零點(diǎn)。）其中有兩個(gè)不是 f（x）的零點(diǎn)。積函數(shù)在這兩點(diǎn)不可導(dǎo)。（選（B））。
      實(shí)際上，x = –1 是積函數(shù)的而重零點(diǎn)。
      3．函數(shù)求導(dǎo)（以下所涉及的函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)）
      函數(shù)求導(dǎo)越熟練，高等數(shù)學(xué)的感覺越好。只要回憶一下，小時(shí)候，九九表你背了用了多少年？！初中時(shí)，有理數(shù)運(yùn)算算了多少年？！中學(xué)里，代數(shù)式運(yùn)算你又算了多少年？！而學(xué)習(xí)微積分，你花了多少時(shí)間作求導(dǎo)計(jì)算？！自己就明白問題之所在了。
      求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第一設(shè)問是，我對(duì)什么類型的函數(shù)求導(dǎo)？
      對(duì)初等函數(shù)求導(dǎo)，要點(diǎn)是學(xué)會(huì)熟練地對(duì)初等函數(shù)作結(jié)構(gòu)分析。應(yīng)該設(shè)問（步步設(shè)問）：
   “是對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)求導(dǎo)還是對(duì)四則運(yùn)算結(jié)構(gòu)求導(dǎo)？”
      對(duì)含有多個(gè)變量（有參變量）的表達(dá)式求導(dǎo)，要始終提醒自己：“是對(duì)表達(dá)式中的哪一個(gè)變?cè)髮?dǎo)？”
      對(duì)分段函數(shù)求導(dǎo)，各段分別求導(dǎo)；定義分界點(diǎn)用定義求導(dǎo)
      對(duì)冪指型函數(shù)求導(dǎo)，視 y = f（x）為恒等式，先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)，最后解出 y ′
      還有隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；參數(shù)式所表述的函數(shù)求導(dǎo)；求乘積函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的Leibnitz（萊布尼茲）公式。
      沒辦法。這是首先必須要苦力干活的。沒有捷徑可循。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-3-2 18:35 編輯 ]

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-3-12 08:06

典型的不可導(dǎo),"構(gòu)造法"的標(biāo)準(zhǔn)思維.

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-3-22 08:23

實(shí)實(shí)在在了解連續(xù)函數(shù).

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-4-11 20:42

你過關(guān)了嗎?!

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-5-3 20:31

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20266 · 發(fā)表于 2010-5-3 20:45

看起來(lái)很亂啊。
我有個(gè)疑問，就是如果函數(shù)在一點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)相等，則這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，這時(shí) 導(dǎo)函數(shù) 在這一點(diǎn)連續(xù)嗎？

[ 本帖最后由 20266 于 2010-5-3 20:50 編輯 ]

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-5-4 22:30

x →x0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的極限不一定存在。
請(qǐng)看我的貼子“有意思（4）……”。

qq314187079 · 發(fā)表于 2010-5-8 02:49

不錯(cuò)！

dajiaobao · 發(fā)表于 2010-5-8 16:21

非常不錯(cuò)，贊一個(gè)~

tian632671313 · 發(fā)表于 2010-5-9 09:24

針對(duì)你這個(gè)問題，導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)是連續(xù)的。。。。

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