考研數(shù)學(xué)講座（1）考好數(shù)學(xué)的基點(diǎn)

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-1-19 21:05

“木桶原理”已經(jīng)廣為人所知曉。但真要在做件事時找到自身的短處，下意識地有針對性地采取措施，以求得滿意的結(jié)果。實(shí)在是一件不容易的事。
非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生與數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生的最基本差別，在于概念意識。 數(shù)學(xué)科學(xué)從最嚴(yán)密的定義出發(fā)，在準(zhǔn)確的概念與嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上層層疊疊，不斷在深度與廣度上發(fā)展。形成一棵參天大樹。
在《高等數(shù)學(xué)》中，出發(fā)點(diǎn)處就有函數(shù)，極限，連續(xù)，可導(dǎo)，可微等重要概念。
在《線性代數(shù)》的第一知識板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而第二知識板塊中，則是矩陣的特征值與特征向量。
在《概率統(tǒng)計》中，第一重要的概念是分布函數(shù)。不過，《概率》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學(xué)習(xí)《概率》需要學(xué)生有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。
非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生大多沒有概念意識，記不住概念。更不會從概念出發(fā)分析解決問題。基礎(chǔ)層次的概念不熟，下一層次就云里霧里了。這是感到數(shù)學(xué)難學(xué)的關(guān)鍵。
大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的，通常只是為了滿足相關(guān)本科專業(yè)的需要。教師們在授課時往往不會太重視，而且也沒時間來進(jìn)行概念訓(xùn)練。
考研數(shù)學(xué)目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。在考研指導(dǎo)課上，往往會有學(xué)生莫名驚詫，“大一那會兒學(xué)的不一樣。”原因就在于學(xué)過的概念早忘完了。
做考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，首先要在基本概念與基本運(yùn)算上下足功夫。
按考試時間與分值來匹配，一個4分的選擇題平均只有5分鐘時間。而這些選擇題卻分別來自三門數(shù)學(xué)課程，每個題又至少有兩個概念。你可以由此體驗選拔考試要求你對概念的熟悉程度。
從牛頓在碩士生二年級的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻(xiàn)浩如煙海，知識千錘百煉。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生們所接觸的，只是初等微積分的一少部分。方法十分經(jīng)典，概念非常重要。學(xué)生們要做的是接受，理解，記憶，學(xué)會簡單推理。當(dāng)你面對一個題目時，你的自然反應(yīng)是，“這個題目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪兒做過這道題”，才能算是有點(diǎn)入門了。
你要考得滿意嗎？基點(diǎn)不在于你看了多少難題，關(guān)鍵在于你是否對基本概念與基本運(yùn)算非常熟悉。
陽春三月風(fēng)光好，抓好基礎(chǔ)正當(dāng)時。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-1-19 21:07 編輯 ]

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-1-21 22:39

這套帖子為下一年考試的同學(xué)而寫。

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-1-21 23:12

在愛搞運(yùn)動的那些年代里，數(shù)學(xué)工作者們經(jīng)常受到這樣的指責(zé)，“一支筆，一張紙，一杯茶，鬼畫桃符，脫離實(shí)際。”發(fā)難者不懂基礎(chǔ)研究的特點(diǎn)，不懂得考慮數(shù)學(xué)問題時“寫”與“思”同步的重要性。
   也許是計算機(jī)廣泛應(yīng)用的影響，今天的學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，也不太懂得“寫”的重要性。考研的學(xué)生們，往往拿著一本厚厚的考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)資料，看題看解看答案或看題想解翻答案。動筆的時間很少。
   數(shù)學(xué)書不比小說。看數(shù)學(xué)書和照鏡子差不多，鏡子一拿走，印象就模糊。
   科學(xué)的思維是分層次的思維。求解一個數(shù)學(xué)問題時，你不能企圖一眼看清全路程。你只能踏踏實(shí)實(shí)地考慮如何邁出第一步。
   或“依據(jù)已知條件，我首先能得到什么？”（分析法）；
   或 “要證明這個結(jié)論，就是要證明什么？”（綜合法）。
   在很多情形下，寫出第一步與不寫的感覺是完全不同的。下面是一個簡單的例。
   “連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和會怎樣？”
      寫成 “連續(xù)A + 不連續(xù)B = ？”后就可能想到，只有兩個答案，分別填出來再說。（窮盡法）。
   如果，“連續(xù)A + 不連續(xù)B = 連續(xù)C”  移項，則 “ 連續(xù)C －連續(xù)A = 不連續(xù)B”
這與定理矛盾。所以有結(jié)論：連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。
   有相當(dāng)一些數(shù)學(xué)定義，比如“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)”，其中包含有計算式。能否掌握并運(yùn)用這些定義，關(guān)鍵就在于是否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，
      題面上有已知條件 f ′(1)＞0，概念深，寫得熟的人立刻就會先寫出
                     h趨于0時， lim( f(1+h)－f(1）)/h＞0
然后由此自然會聯(lián)想到，下一步該運(yùn)用極限的性質(zhì)來推理。而寫不出的人就抓瞎了。
      又比如《線性代數(shù)》中特征值與特征向量有定義式 Aα=λα，α≠ 0 ，要是移項寫成
            （A－λE）α= 0，α≠ 0，
這就表示α是齊次線性方程組（A－λE）X = 0 的非零解，進(jìn)而由理論得到算法。
      數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)之一是“發(fā)散性”。一個數(shù)學(xué)表達(dá)式可能有幾個轉(zhuǎn)換方式，也許從其中一個方式會得到一個新的解釋，這個解釋將導(dǎo)引我們邁出下一步。
         車到山前自有路，你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思考一步寫一步，觀測分析邁下步。路只能一步步走。陳景潤那篇名揚(yáng)世界的“1+2”論文中有28個“引理”，那就是他艱難地走向輝煌的28步。
      對于很多考生來說，不熟悉基本計算是他們思考問題的又一大障礙。
   《高等數(shù)學(xué)》感覺不好的考生，第一原因多半是不會或不熟悉求導(dǎo)運(yùn)算。求導(dǎo)運(yùn)算差，討論函數(shù)的圖形特征，積分，解微分方程等，反應(yīng)必然都慢。
   《線性代數(shù)》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達(dá)形式，那是學(xué)好線性代數(shù)的訣竅。好些看似很難的問題，選擇一個分塊變形就明白了。
   《概率統(tǒng)計》中，要熟練地運(yùn)用二重積分來計算二維連續(xù)型隨機(jī)變量的各類問題。對于考數(shù)學(xué)三的同學(xué)來說，二重積分又是《高等數(shù)學(xué)》部分年年必考的內(nèi)容。掌握了二重積分，就能在兩類大題上得分。
      要考研嗎，要去聽指導(dǎo)課嗎，一定要自己先動筆，盡可能地把基本計算練一練。
      我一直向考生建議，臨近考試的一段時間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時間內(nèi)作某年研考的全巻。中途不翻書，不查閱，憑已有能力做到底。看看成績多少。不要以為你已經(jīng)看過這些試卷了。就算你知道題該怎么做，你一寫出來也可能會面目全非。
      多動筆啊，“寫”“思”同步步履輕，筆下生花花自紅。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-1-24 08:01 編輯 ]

herbert_seed · 發(fā)表于 2010-1-22 10:35

講的很有道理！！

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-1-22 18:48

極限概念是微積分的起點(diǎn)。說起極限概念的歷史，學(xué)數(shù)學(xué)的都多少頗為傷感。
   很久很久以前，西出陽關(guān)無蹤影的老子就體驗到，“一尺之竿，日取其半，萬世不竭。”
   近兩千年前，祖氏父子分別用園的內(nèi)接正6n邊形周長替帶園周長以計算園周率；用分割曲邊梯形為 n 個窄曲邊梯形，進(jìn)而把窄曲邊梯形看成矩形來計算其面積。他們都體驗到，“割而又割，即將 n 取得越來越大，就能得到越來越精確的園周率值或面積。”
      國人樸實(shí)的體驗延續(xù)了一千多年，最終沒有思維升華得到極限概念。而牛頓就在這一點(diǎn)上率先突破。
   極限概念起自于對“過程”的觀察。極限概念顯示著過程中兩個變量發(fā)展趨勢的關(guān)聯(lián)。
   自變量的變化趨勢分為兩類，一類是 x →x0  ；一類是 x →∞ ，
   “當(dāng)自變量有一個特定的發(fā)展趨勢時，相應(yīng)的函數(shù)值是否無限接近于一個確定的數(shù)a ？”
如果是，則稱數(shù)a為函數(shù)的極限。
   “無限接近”還不是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言。但這是理解極限定義的第一步，最直觀的一步。
   學(xué)習(xí)極限概念，首先要學(xué)會觀察，了解過程中的變量有無一定的發(fā)展趨勢。學(xué)習(xí)體驗相應(yīng)的發(fā)展趨勢。其次才是計算或討論極限值。
   自然數(shù)列有無限增大的變化趨勢。按照游戲規(guī)則，我們還是說自然數(shù)列沒有極限。
   自然數(shù) n 趨于無窮時，數(shù)列 1/n 的極限是0 ；x 趨于無窮時，函數(shù) 1/x 的極限是 0 ；
   回顧我們最熟悉的基本初等函數(shù)，最直觀的體驗判斷是，
   x 趨于正無窮時，正指數(shù)的冪函數(shù)都與自然數(shù)列一樣，無限增大，沒有極限。
   x 趨于正無窮時，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都無限增大，沒有極限。
   x →0+ 時，對數(shù)函數(shù) lnx  趨于－∞ ；x 趨于正無窮時，lnx 無限增大，沒有極限。
   x →∞ 時，正弦sinx 與余弦conx 都周而復(fù)始，沒有極限。在物理學(xué)中，正弦 y = sinx 的圖形是典型的波動。
   我國《高等數(shù)學(xué)》教科書上普遍都選用了“震蕩因子”sin（1/x）。當(dāng) x 趨于0 時它沒有極限的原因是震蕩。具體想來，當(dāng) x 由0.01變?yōu)?.001時，只向中心點(diǎn) x = 0 靠近了一點(diǎn)點(diǎn)，而正弦sinu 卻完成了140多個周期。函數(shù)的圖形在 +1與－1之間上下波動140多次。在 x = 0 的鄰近，函數(shù)各周期的圖形緊緊地“擠”在一起，就好象是 “電子云”。
   當(dāng)年我研究美國各大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》教材時，曾看到有的教材竟然把函數(shù) y = sin（1/x）的值整整印了一大頁，他們就是要讓學(xué)生更具體地體驗它的數(shù)值變化。
   x 趨于0 時（1/x）sin（1/x）不是無窮大，直觀地說就是函數(shù)值震蕩而沒有確定的發(fā)展趨勢。1/x 為虎作倀，讓震蕩要多瘋狂有多瘋狂。
      更深入一步，你就得體驗，在同一個過程中，如果有多個變量趨于0，（或無限增大。）就可能有的函數(shù)趨于0 時（或無限增大時）“跑得更快”。這就是高階，低階概念。
   考研數(shù)學(xué)還要要求學(xué)生對極限有更深刻的體驗。
   多少代人的千錘百煉，給微積分鑄就了自己的倚天劍。這就是一套精密的極限語言，（即ε–δ語言）。沒有這套語言，我們沒有辦法給出極限定義，也無法嚴(yán)密證明任何一個極限問題。但是，這套語言是高等微積分的內(nèi)容，非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生很難搞懂。數(shù)十年來，考研試卷上都沒有出現(xiàn)過要運(yùn)用 ε–δ 語言的題目。研究生入學(xué)考題中，考試中心往往用更深刻的體驗來考查極限概念。這就是
   “若 x 趨于 ∞ 時，相應(yīng)函數(shù)值 f（x）有正的極限，則當(dāng)∣x∣充分大時，(你不仿設(shè)定一點(diǎn)x0，當(dāng)∣x∣＞x0時，)  總有 f（x）＞0 ”
      *“若 x 趨于 x0 時，相應(yīng)函數(shù)值 f（x）有正的極限，則在 x0 的一個適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，f（x）恒正”
   這是已知函數(shù)的極限而回頭觀察。逆向思維總是更加困難。不過，這不正和“近朱者赤，近墨者黑”一個道理嗎。
   除了上述苻號體驗外，能掌握下邊簡單的數(shù)值體驗則更好。
   若 x 趨于無窮時，函數(shù)的極限為 0 ，則 x 的絕對值充分大時，( 你不仿設(shè)定一點(diǎn) x0 ，當(dāng)∣x∣＞x0 時，)  函數(shù)的絕對值恒小于1
         若 x 趨于無窮時，函數(shù)為無窮大，則 x 的絕對值充分大時，(  你不仿設(shè)定一點(diǎn) x0 ，  當(dāng)∣x∣＞x0時，) 函數(shù)的絕對值全大于1
      *若 x 趨于 0 時，函數(shù)的極限為 0 ，則在 0 點(diǎn) 的某個適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，或 x 的絕對值充分小時，函數(shù)的絕對值全小于1
      （你不仿設(shè)定有充分小的數(shù) δ＞0，當(dāng) 0＜∣x∣＜δ 時，函數(shù)的絕對值全小于1 ）
   沒有什么好解釋的了，你得反復(fù)領(lǐng)會極限概念中“無限接近”的意義。你可以試著理解那些客觀存在，可以自由設(shè)定的點(diǎn) x0 ，或充分小的數(shù) δ＞0 ，并利用它們。

[ 本帖最后由戰(zhàn)地黃花于 2010-1-22 18:58 編輯 ]

alainesun · 發(fā)表于 2010-1-22 22:18

很好啊

菜園小生 · 發(fā)表于 2010-1-22 23:16

好貼！！~

戰(zhàn)地黃花 · 發(fā)表于 2010-1-23 19:24

你是看題看解看答案，還是看題想解翻答案，還是擺開本子邊看邊寫邊想。

ilovetina · 發(fā)表于 2010-1-24 03:22

寫得很好

學(xué)數(shù)學(xué)確實(shí)要親自做題和思考，不能總是做不出來就看答案。lz是數(shù)學(xué)專業(yè)的嗎？

雷西兒 · 發(fā)表于 2010-1-24 12:32

原帖由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-1-19 21:05 發(fā)表
“木桶原理”已經(jīng)廣為人所知曉。但真要在做件事時找到自身的短處，下意識地有針對性地采取措施，以求得滿意的結(jié)果。實(shí)在是一件不容易的事。
非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生與數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生的最基本差別，在于概念意識。數(shù) ...

寫得非常好
很多觀點(diǎn)和我一直以來給學(xué)生強(qiáng)調(diào)的不謀而合
要想真正把數(shù)學(xué)學(xué)好必須經(jīng)歷強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格的思維訓(xùn)練
而思維訓(xùn)練的核心又在于概念

是樓主自己原創(chuàng)的嗎是的話有空多交流

[ 本帖最后由雷西兒于 2010-1-24 12:40 編輯 ]

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