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第八章 矩陣位移法 1.基本思路： a.先把結構離散成單元進行分析，建立單元桿端力與桿端位移之間的關系。 b.在單元分析的基礎上，考慮結構的幾何條件和平衡條件，將這些離散單元組合成原來的結構，進行整體分析，建立結構的結點力與結點位移之間的關系，即結構的總剛度方陣，進而求解結構的結點位移和單元桿端力。
2.單元剛度方程為單元的桿端力與桿端位移之間的關系式： a.單元剛度矩陣是對稱方陣； b.幾何不變體系的特殊單元剛度矩陣是奇異矩陣，不能有桿端力求桿端位移； c.單元剛度矩陣中各元素的意義如下： kij表示第j個桿端位移分量等于1時引起的第i個桿端力分量； 第i行元素的意義是當6個桿端位移分量分別等于1時，引起的第i個桿端力分量的值； 第j列元素的意義是當第j個桿端位移分量等于1時，引起的6個桿端力的值。 d.單元剛度矩陣只與單元的剛度和長度有關。
3.坐標變換矩陣是一個正交矩陣
4.集成總剛度矩陣最常用的方法是直接剛度法，又可分為后處理法和先處理法。 后處理法：按單元的節點編號，將單元剛度矩陣分為四個子塊，逐塊地將結點所對應的子塊在結構的原始剛度矩陣中對號入座，形成結構的原始剛度矩陣，每個節點位移分量數為3的平面剛架，結構原始剛度矩陣的階數為3n*3n. 先處理法：將單元剛度矩陣先按邊界條件處理，即只取實際發生的結點位移為未知量，形成總剛過程中，引入定位向量。
5.彈性支座的處理： 通常用主對角元素疊加法處理彈性支座。如果結構的第j個自由度是彈性約束，那么，把彈性支座的剛度系數疊加到原始剛度矩陣主對角線的第j個元素上即可得到約束處理后的剛度方程。
6．總剛度方程為整體結構的節點荷載與結點位移之間的關系式，是結構應滿足的平衡條件。無論何種結構，其總剛度方程都具有統一的形式：[K][△]={P}
7.關于總剛度矩陣[K]:先處理法與后處理法。 a.元素Kij的物理意義為：當△j=1而其他位移分量為零時產生在△i方向的桿端力； b.主子塊[KII]是由結點i的相關單元中結點i相對應的主子塊疊加而成。 c.當i,j為相關單元結點時，副主子塊Kij就等于連接ij的桿單元中相應的子塊；若i,j不相關，則Kij為零子塊。 d.總剛度矩陣為對稱矩陣。 e.總剛度矩陣為稀疏帶狀矩陣。越是大型結構，帶狀分布規律越明顯。 f.總剛度矩陣主對角元素都大于零。 相關單元：同交于一個結點的各桿件為該結點的相關單元。 相關結點：兩個節點之間有桿件直接相連者為相關結點。
8.一些計算公式：（于玲玲編參考書P037-309） （與坐標變換矩陣相乘時，注意結合線性代數的知識進行矩陣運算，提高運算速度。）
9.不需坐標變換的幾種情況： a.多跨連續梁。 b.只有轉角未知量的桿件，無論局部坐標是否與整體坐標一致，都可以取2*2的特殊單元，且不需要坐標變換； c.若單元的一端為固定端，無結點位移未知量，則可將該單元的[k]e取為3*3的特殊單元剛度矩陣，即劃掉位移為零的一端對應的行和列，[T]也相應取為3*3的矩陣進行變換。（具體問題具體分析，不可生搬硬套）
10.矩形剛架忽略軸向變形時，形成整體剛度矩陣的簡便方法： a.建立局部坐標時，每一單元桿件的局部坐標體系下，側向位移V和轉角位移θ的方向與結構坐標系（總體坐標系）。（順時針坐標系和逆時針坐標系不同）。 b.將局部坐標系的單元剛度矩陣劃去軸向變形相應的行與列。 c.此時局部坐標系的桿端位移與整體坐標系的桿端位移一致，可直接由單元剛度矩陣進行定位與集成。
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發表于 2021-12-2 09:18
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