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題型分析 華工考研院聯(lián)合華工學(xué)長(zhǎng)學(xué)姐針對(duì)考研數(shù)學(xué)開(kāi)設(shè)考點(diǎn)分析主題。本文著重講解考研數(shù)學(xué)《線(xiàn)性代數(shù)》的重點(diǎn)，考研鵝可自行查缺補(bǔ)漏。
線(xiàn)性代數(shù) 第二章、矩陣 思考與點(diǎn)撥
矩陣及其運(yùn)算是線(xiàn)性代數(shù)的核心，后續(xù)各章的基礎(chǔ)，考點(diǎn)較多，重點(diǎn)考點(diǎn)是逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程，這幾年還頻頻出現(xiàn)初等變換與初等陣的試題，應(yīng)注意到的大致有以下幾部分內(nèi)容. 1.基本運(yùn)算：要搞清概念，熟練掌握運(yùn)算規(guī)則并保證運(yùn)算的正確性，重點(diǎn)關(guān)注以下幾點(diǎn)。 (1)搞清能否運(yùn)算，怎樣運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果是什么. (2)搞清數(shù)的運(yùn)算、行列式的性質(zhì)，與矩陣運(yùn)算的區(qū)別. (3)充分利用運(yùn)算規(guī)則，如計(jì)算中結(jié)合律、分配律的利用，但矩陣運(yùn)算沒(méi)有交換律，消去律.
2.逆矩陣：理解逆矩陣的概念，掌握運(yùn)算法則，掌握矩陣可逆的充分必要條件，會(huì)證矩陣可逆，并能正確求出逆矩陣。 求逆矩陣的方法：對(duì)數(shù)值矩陣，一般有(1)公式法.A-1=1/︳A ︳A＊，特別適用二階矩陣；(2)初等變換法.[A ︳B]→[E ︳A].對(duì)抽象矩陣，一般有(3)定義法，化成AB=E，則A可逆，且A-1=B；(4)化成已知可逆矩陣的乘積，即若化成A=BC，其中B，C均是可逆陣，則A可逆，A-1=(BC)-1=C-1B-1. 證明A可逆的方法： A可逆?︳A ︳≠0?AX=0有唯一零解?AX=b有唯一解?r(A)=n?A的行(列)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，或用反證法。
3.伴隨矩陣A＊：理解伴隨矩陣的概念，注意Ai j與A＊的聯(lián)系，能熟練得出A，A-1，A＊，(A＊)-1，︳A ︳，︳A＊︳之間的關(guān)系，如 (1)︳A＊︳=︳A ︳n-1，(2)若A可逆，(A＊)-1=1/︳A ︳A，A＊=︳A ︳A-1。 若公式中將A代入kA時(shí)，有 (kA)(kA)＊=︳kA ︳E，得(kA)＊=kn-1A＊； 若公式中將A代入A＊時(shí)，有 A＊(A＊)＊=︳A＊︳E，得(A＊)＊=︳A ︳n-2A. A＊的秩只有n，1，0三種可能，且
4.矩陣方程：矩陣方程的試題較多，這類(lèi)試題具有定的綜合性，既考查了利用矩陣運(yùn)算法則、性質(zhì)等把方程化簡(jiǎn)，又考查了具體的數(shù)值計(jì)算。解這類(lèi)試題要求分二步走，“先化簡(jiǎn)”，寫(xiě)出所求矩陣的最簡(jiǎn)表達(dá)式，再代入具體的數(shù)值矩陣，進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算(如題2.3)。
5.初等變換、初等陣、矩陣的秩及等價(jià)矩陣?yán)斫獬醯茸儞Q的概念，了解初等陣及其性質(zhì)，能將矩陣的初等變換表達(dá)成矩陣乘初等陣，反之能將矩陣乘初等陣翻譯成作初等變換(如題2.1～2.3)理解矩陣秩的概念，掌握用初等變換求秩及逆矩陣的方法。
6.分塊陣：了解分塊陣及其運(yùn)算，會(huì)求分塊對(duì)角陣的n次冪及分塊對(duì)角陣的逆等。
第三章、向量 思考與點(diǎn)撥
向量組的線(xiàn)性相關(guān)性是線(xiàn)性代數(shù)中的難點(diǎn)，也是考試的重點(diǎn)，考生應(yīng)深刻理解線(xiàn)性相關(guān)性的內(nèi)在的含義外，還應(yīng)與線(xiàn)性表出、向的秩及線(xiàn)性方程組等相聯(lián)系，從各個(gè)側(cè)面加強(qiáng)對(duì)線(xiàn)性相關(guān)性的理解。 本章試題大致有以下四個(gè)部分:
1.向量的線(xiàn)性表出 向量β能否由向量組α1，α2，…αs，線(xiàn)性表出?方程組α1x1+α2x2+…αs x n=[α1，α2，…αs]X=An×s X=β是否有解，其解即是表出系數(shù)?r(A)和r(A︳β)是否相等。 若α1，α2，…αs線(xiàn)性無(wú)關(guān)，α1，α2，…αs，β線(xiàn)性相關(guān)，則β可由α1，α2，…αs線(xiàn)性表出，且表出法唯一。 若α1，α2，…αs線(xiàn)性相關(guān)，則至少存在一個(gè)向量αi可由其余向量線(xiàn)性表出。 向量組(I) β1，β2，…βs中任一個(gè)向量βi(1，2，…，s)都可由(Ⅱ) α1，α2，…αs線(xiàn)性表出，稱(chēng)向量組(I)可由向量組(Ⅱ)線(xiàn)性表出，兩組向量可以相Ⅰ互表出，則稱(chēng)兩向量組等價(jià)，等價(jià)向量組等秩，反之不成立。
2.向量組線(xiàn)性相關(guān)性的判別和證明 要說(shuō)明或證明向量組α1，α2，…αs線(xiàn)性相關(guān)，只要求出(觀察出)有不全為零的數(shù)k1，k2，…ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0.即說(shuō)明或證明方程組有k1α1+k2α2+…+ksαs=0有非零解。 證明一組向量α1，α2，…αs線(xiàn)性無(wú)關(guān)，有兩類(lèi)題型：(1)若題設(shè)條件中只有一組向量(附有一些其他條件)，則應(yīng)利用定義證明(實(shí)質(zhì)上是反證法)；(2)若已知一組向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，要證另一組向量也線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則可以用定義證明，也可以用等價(jià)向量組、秩、方程組等方法證明(例題2.5)。
3.求向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組及向量組的秩 應(yīng)理解向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的概念，并掌握其求法。
則向量組α1，α2，…αs和α1＇，α2＇，…αs＇是等價(jià)向量組，等價(jià)向量組等秩。 A=[β1，β2，…βs][ β1＇，β2＇，…βs＇]， 則β1，β2，…βs與β1＇，β2＇，…βs＇中任何對(duì)應(yīng)的部分向量組有相同的線(xiàn)性相關(guān)性。向量組極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組不唯一，但極大無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)是唯一的，此數(shù)即是向量組的秩。
4.向量空間，要求了解向量空間、子空間、解空間，基、維數(shù)，坐標(biāo)等概念，了解基變換公式、坐標(biāo)變換公式，會(huì)求過(guò)渡矩陣，掌握施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化方法，這部分內(nèi)容相對(duì)試題較少，從1987年考研數(shù)學(xué)統(tǒng)考以來(lái)，共出過(guò)4題，二個(gè)題是過(guò)渡矩陣的(例題1.1)，一題是求解空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，一題是求一個(gè)向量在一組基下的坐標(biāo)。
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發(fā)表于 2021-10-21 09:26
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