2018年北京師范大學數學專業真題回憶(762)

這這的這這 · 發表于 2018-1-9 17:06

1 求f(x)=xsin(lnx)的導數和二階導數

2證明f(x)=(1+1/x)∧x在(0,+∞)上單調增

3求f(x)=x∧2+y∧3－3xy的極值點和極值

4設三角級數a0/2+∑(ancosnx+bnsinnx)在R上一致收斂于f(x),證明
(i)對于k∈N，級數

a0coskx/2+∑(ancosnx+bnsinnx)coskx在R上一致收斂

a0coskx/2+∑(ancosnx+bnsinnx)sinkx在R上一致收斂

(ii)
an= 1/π∫(0,2π)f(x)cosnxdx
bn= 1/π∫(0,2π)f(x)sinnxdx

5 區域Ω由y=x∧2－2x,x+y=2,
z=x+y,z=0圍成，
(i)把∫∫∫Ω |xyz|dxdydz寫成幾個累次積分的和(被積函數不能有絕對值)
(ii)設Ω0為{P

∈Ω,x≥0,y≥0},求∫∫∫Ω0 |xyz|dxdydz.

6證明
(i)f(x)=xarctanx+(sinx)∧2在R上一致連續

(ii)
f(x)=x[arctan(x)](sinx)∧2在R上不一致連續

7給出了兩個四元函數F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)，
(i)要求證明在(1/2,0,1/2,0)處鄰域可以確定隱函數組u(x,y),v(x,y)
(ii)求v對x的偏導數，以及二階偏導數vxx

8設f(x)是[0,1]上連續的正值函數，對于n∈N+，證明
(i)存在唯一的an∈(1/n,1)使得
∫(1/n,an)f(x)dx=∫(an,1)f(x)dx
(ii)limn→∞an的極限存在
來源: 2018年北京師范大學數學分析(762)回憶版

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