【華工考研院】808結(jié)構(gòu)力學(xué)考研考點分析：矩陣位移法！

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第八章 矩陣位移法

1.基本思路：

a.先把結(jié)構(gòu)離散成單元進行分析，建立單元桿端力與桿端位移之間的關(guān)系。

b.在單元分析的基礎(chǔ)上，考慮結(jié)構(gòu)的幾何條件和平衡條件，將這些離散單元組合成原來的結(jié)構(gòu)，進行整體分析，建立結(jié)構(gòu)的結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系，即結(jié)構(gòu)的總剛度方陣，進而求解結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移和單元桿端力。

2.單元剛度方程為單元的桿端力與桿端位移之間的關(guān)系式：

a.單元剛度矩陣是對稱方陣；

b.幾何不變體系的特殊單元剛度矩陣是奇異矩陣，不能有桿端力求桿端位移；

c.單元剛度矩陣中各元素的意義如下：

kij表示第j個桿端位移分量等于1時引起的第i個桿端力分量；

第i行元素的意義是當6個桿端位移分量分別等于1時，引起的第i個桿端力分量的值；

第j列元素的意義是當?shù)趈個桿端位移分量等于1時，引起的6個桿端力的值。

d.單元剛度矩陣只與單元的剛度和長度有關(guān)。

3.坐標變換矩陣是一個正交矩陣

4.集成總剛度矩陣最常用的方法是直接剛度法，又可分為后處理法和先處理法。

后處理法：按單元的節(jié)點編號，將單元剛度矩陣分為四個子塊，逐塊地將結(jié)點所對應(yīng)的子塊在結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣中對號入座，形成結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣，每個節(jié)點位移分量數(shù)為3的平面剛架，結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣的階數(shù)為3n*3n.

先處理法：將單元剛度矩陣先按邊界條件處理，即只取實際發(fā)生的結(jié)點位移為未知量，形成總剛過程中，引入定位向量。

5.彈性支座的處理：

通常用主對角元素疊加法處理彈性支座。如果結(jié)構(gòu)的第j個自由度是彈性約束，那么，把彈性支座的剛度系數(shù)疊加到原始剛度矩陣主對角線的第j個元素上即可得到約束處理后的剛度方程。

6．總剛度方程為整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點荷載與結(jié)點位移之間的關(guān)系式，是結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的平衡條件。無論何種結(jié)構(gòu)，其總剛度方程都具有統(tǒng)一的形式：[K][△]={P}

7.關(guān)于總剛度矩陣[K]:先處理法與后處理法。

a.元素Kij的物理意義為：當△j=1而其他位移分量為零時產(chǎn)生在△i方向的桿端力；

b.主子塊[KII]是由結(jié)點i的相關(guān)單元中結(jié)點i相對應(yīng)的主子塊疊加而成。

c.當i,j為相關(guān)單元結(jié)點時，副主子塊Kij就等于連接ij的桿單元中相應(yīng)的子塊；若i,j不相關(guān)，則Kij為零子塊。

d.總剛度矩陣為對稱矩陣。

e.總剛度矩陣為稀疏帶狀矩陣。越是大型結(jié)構(gòu)，帶狀分布規(guī)律越明顯。

f.總剛度矩陣主對角元素都大于零。

相關(guān)單元：同交于一個結(jié)點的各桿件為該結(jié)點的相關(guān)單元。

相關(guān)結(jié)點：兩個節(jié)點之間有桿件直接相連者為相關(guān)結(jié)點。

8.一些計算公式：（于玲玲編參考書P037-309）

（與坐標變換矩陣相乘時，注意結(jié)合線性代數(shù)的知識進行矩陣運算，提高運算速度。）

9.不需坐標變換的幾種情況：

a.多跨連續(xù)梁。

b.只有轉(zhuǎn)角未知量的桿件，無論局部坐標是否與整體坐標一致，都可以取2*2的特殊單元，且不需要坐標變換；

c.若單元的一端為固定端，無結(jié)點位移未知量，則可將該單元的[k]e取為3*3的特殊單元剛度矩陣，即劃掉位移為零的一端對應(yīng)的行和列，[T]也相應(yīng)取為3*3的矩陣進行變換。（具體問題具體分析，不可生搬硬套）

10.矩形剛架忽略軸向變形時，形成整體剛度矩陣的簡便方法：

a.建立局部坐標時，每一單元桿件的局部坐標體系下，側(cè)向位移V和轉(zhuǎn)角位移θ的方向與結(jié)構(gòu)坐標系（總體坐標系）。（順時針坐標系和逆時針坐標系不同）。

b.將局部坐標系的單元剛度矩陣劃去軸向變形相應(yīng)的行與列。

c.此時局部坐標系的桿端位移與整體坐標系的桿端位移一致，可直接由單元剛度矩陣進行定位與集成。

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