考研數(shù)學(xué)講座(10)-(14)

戰(zhàn)地黃花

考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)（10）微分是個(gè)新起點(diǎn)
     微分學(xué)研究函數(shù)的方法，是用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)回頭去研究函數(shù)。這和物理學(xué)用速度及加速度去研究物體運(yùn)動(dòng)是一個(gè)道理。微分則是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的起點(diǎn)。
     線性關(guān)系是最簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系。我們?cè)谏钪杏龅降恼壤龁?wèn)題舉不勝舉。而討論非線性問(wèn)題，總是件很困難的事。到朋友家要上樓，如果他們家的樓梯是非線性的，多半你會(huì)摔個(gè)跟頭。
    “能否把非線性問(wèn)題線性化？”這是人們?cè)诮?jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的自然思考。實(shí)際上，非線性問(wèn)題就是非線性問(wèn)題，所謂“線性化”，只是用一個(gè)“合適的” 線性模型去近似非線性模型。即                     
             非線性模型 = 線性模型 + 尾項(xiàng)（尾項(xiàng)= 非線性模型－線性模型），
     關(guān)鍵在于表示尾項(xiàng)，研究尾項(xiàng)！找到尾項(xiàng)可以被控制的逼近模型。
     把這個(gè)思想落實(shí)到函數(shù)上，就是，在中心點(diǎn)x0鄰近，能否有
        Δy = AΔx + 尾項(xiàng)    ，尾項(xiàng) = Δy－AΔx  能否是比Δx高階的無(wú)窮??？
     如果能，就稱函數(shù)在點(diǎn)x0可微分。簡(jiǎn)稱可微。記 dy = AΔx ，稱為函數(shù)的微分，又稱為函數(shù)的線性主部。
      將可微定義等式兩端同除以Δx，令Δx趨于零取極限即知，若函數(shù)在點(diǎn)x0可微，則
     A就是函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù) f ′(x0)；從而 Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx)   ；ο(Δx)表示“比Δx高階的無(wú)窮小?！?br />                  或  Δy = dy  +ο(Δx)      ；   dy = f ′(x0)Δx = f ′(x0) dx
          要是需要，我們可以丟去尾項(xiàng)，微局部地得到函數(shù)值的（線性的）近似計(jì)算式。由于丟去的尾項(xiàng)是比Δx高階的無(wú)窮小，如果∣Δx∣＜ 0.01 ,那么，絕對(duì)誤差也小于0.01
          不丟尾項(xiàng)，我們得到函數(shù)的一個(gè)新的（微局部地）有特定含義的表達(dá)式：
                  f（x）= f（x0）+ Δy = f（x0）+ f ′(x0)Δx +ο(Δx)
           歷史上，這個(gè)表達(dá)式稱為，“帶皮阿諾余項(xiàng)的一階泰勒公式”。
      近一步可以證明，可微與可導(dǎo)等價(jià)。
      例 41   設(shè)函數(shù)f（u）可導(dǎo)，y = f（x平方）當(dāng)自變量x在點(diǎn)x = －1取得增量  Δx =－0.1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量Δy的線性主部為0.1，則f ′(1) = _______
          分析  Δy的線性主部即是微分dy ，而 y′(x)= f′(u)2x , y′(1) =－2f′(1)
故              dy= y′(x) dx 具體為    0.1 = y′(1)( －0.1) ，解得  f ′(1) = 1/2

          函數(shù) f（x）在一個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)時(shí)，我們記微分 dy = f ′(x)dx 。但是不能忘了微分的微局部意義。
      函數(shù)可微，且f ′(x0)≠0時(shí)，還可以把可微定義等式變形為  Δy / f ′(x0)Δx = 1 + ο(Δx)∕f ′(x0)Δx      
令 Δx → 0 取極限，即知 Δy和dy是等價(jià)無(wú)窮小。
      為了考試，要盡可能記住一些常用的等價(jià)無(wú)窮小，例如在x → 0過(guò)程中
                sinx ～ x  ； ln（1+x）～ x  ；e xp（x）－1 ～ x  ；√（1+ x）－1～ x∕2
           它們都是在原點(diǎn)計(jì)算Δy和dy而獲得的。最好再記住    1－cosx ～ x 平方∕2
兩條經(jīng)驗(yàn)：
     （1）常用等價(jià)無(wú)窮小的拓展——例如，若在某一過(guò)程中，若 α（x）是無(wú)窮小，則
           sinα（x） ～ α（x） ； ln（1+ α（x））～ α（x） ；e α（x）－1 ～ α（x）
              √（1+ α（x））－1 ～ α（x）∕2    ；  1－cos α（x） ～ α（x）平方∕2
         （2）等價(jià)無(wú)窮小的差為高階無(wú)窮小。
       例42    設(shè)當(dāng)x → 0時(shí)，  （1－cosx）ln（1+x平方）是比 x（sinx的n次方）   高階的無(wú)窮?。?br />                而   x (sinx的n次方)   是比 exp（x平方）－1   高階的無(wú)窮小，則正整數(shù) n = ？
       分析   x → 0 時(shí)，（1－cosx）ln（1+x平方）為 4 次方級(jí)的無(wú)窮小；x(sinx的n次方)  是n+1次方級(jí)；
                     exp（x平方）－1  是 2 次方級(jí)，由已知，2＜n+1＜4 ，只有n = 2

          我們還可以學(xué)會(huì)主動(dòng)選定中心點(diǎn)，計(jì)算Δy和dy來(lái)獲得等價(jià)無(wú)窮小。
      例43 設(shè)在區(qū)間 [1/2，1）上，f（x）= 1/πx + 1/sinπx－1/π（1－x），試補(bǔ)充定義函數(shù)值f（1），使函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。
      分析 （1）點(diǎn)1是右端點(diǎn)，按照連續(xù)的定義，應(yīng)該補(bǔ)充定義f（1）為函數(shù)在點(diǎn)1的左極限。
     （2）觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，第一項(xiàng)是連續(xù)函數(shù)求極限。第二，三項(xiàng)形成“無(wú)窮－無(wú)窮”未定式。
     （3）“計(jì)算無(wú)窮－無(wú)窮，能通分時(shí)先通分”。 通分后化為0/0型未定式。求商的極限是否順利，關(guān)健在于分母。要盡可能先簡(jiǎn)化分母。
     （4）公分母 為 π(1－x）sinπx ,可以考慮在點(diǎn) 1 計(jì)算 sinπx 的等價(jià)無(wú)窮小
      因?yàn)?nbsp; sinπ= 0 ,故 Δy = sinπx ；而 dy =πconπΔx =－π（x－1）
      作等價(jià)無(wú)窮小因式替換，分母變成二次函數(shù)，再用洛必達(dá)法則求極限，一定順利。
      學(xué)習(xí)本是為了用，該出手時(shí)就出手。你不妨直接用洛必達(dá)法則求通分后的0/0型未定式極限。作個(gè)對(duì)比。
      例44      設(shè)函數(shù)f (x)在x = 0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f (0)≠0，f ′(0) ≠0，若
            a f（h）+ b f（2h）－f（0）在h → 0時(shí)是較h高階的無(wú)窮小，試確定數(shù)a和b的值。
      分析  由高階無(wú)窮小的定義得h → 0時(shí)  lim (a f（h）+ b f（2h）－f（0）) / h = 0
           記 F(h)= a f（h）+ b f（2h）－f（0），F(xiàn)連續(xù)。于是（用“基本推理”）由極限式與連續(xù)性推出   
          F(0)= lim F(h)=（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有   a + b + 1 = 0
同時(shí)     （F(h)－F(0)) / h = F(h) / h，再由極限式得 F ′(0)= 0
實(shí)際上，    F ′(h) = af ′(h) + 2b f ′(2h)， F ′(0) = （a + 2b）f ′(0) = 0
這就有第二個(gè)方程   a + 2b = 0 ；聯(lián)解之，a = －2  ，b = 1
          *分析二  換一個(gè)思考方法，可微分定義式給了函數(shù)一個(gè)新的（微局部意義的）表達(dá)式。試用一下。
      設(shè)想h充分靠近0，則f（x）= f（0）+  f ′(0)x +ο(x)       （中心點(diǎn)是原點(diǎn)，Δx = x － 0 = x）
故         f（h）= f（0）+  f ′(0)h +ο(h)        f（2h）= f（0）+ f ′(0)2h +ο(h)   
從而     a f（h）+ b f（2h）－f（0）=（a+b－1）f（0）+（a+2b）f  ′(0)h +ο(h)
           要它在h → 0時(shí)是比h高階的無(wú)窮小，常數(shù)項(xiàng)和h項(xiàng)系數(shù)必需為0，獲得兩個(gè)方程。

考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)（11）洛爾定理做游戲
      洛爾定理既為中值定理做準(zhǔn)備，又在函數(shù)零點(diǎn)討論方面具有獨(dú)立意義。洛爾定理的證明中，邏輯推理既有典型性，又簡(jiǎn)明易懂。因而洛爾定理成為考研數(shù)學(xué)的一個(gè)特色考點(diǎn)。
      我國(guó)的大學(xué)數(shù)學(xué)教材，通常把“費(fèi)爾瑪引理”的證明夾在洛爾定理的證明中，使得證明顯得冗長(zhǎng)。我先把它分離出來(lái)。（畫(huà)外音：這可是個(gè)難得的好習(xí)題。）
       1  費(fèi)爾瑪引理 —— 若可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)取得最值，則函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0
            分析  我們復(fù)習(xí)一下“構(gòu)造 法”。已知或討論函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，不仿先寫(xiě)出導(dǎo)數(shù)定義算式，觀察分析增量商。這是基本思路。
       “老老實(shí)實(shí)”地寫(xiě)：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)x0取得最大值。寫(xiě)出增量商  (f（x）－f（x0）)/（x－x0）
       “實(shí)實(shí)在在”地想：它有什么特點(diǎn)呢？ f（x0）最大，分子函數(shù)增量恒負(fù)，分母自變量增量左負(fù)右正。這樣一來(lái)，
        增量商在x0左側(cè)恒正，（負(fù)負(fù)得正）。其左極限即左導(dǎo)數(shù)非負(fù)。（潛臺(tái)詞：極限可能為0）
        增量商在x0右側(cè)恒負(fù)。故右極限即右導(dǎo)數(shù)非正。    函數(shù)可導(dǎo)，左，右極限存在且相等，導(dǎo)數(shù)只能為0
            （畫(huà)外音：導(dǎo)數(shù)為0，不是直接算出來(lái)，而是由邏輯推理判斷得到的。你能否由此體會(huì)到一點(diǎn)數(shù)學(xué)美呢 。）
        2  洛爾定理 —— 若 函數(shù) f（x）在閉區(qū)間 [a，b] 連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且端值相等。則
必在（a，b）內(nèi)一點(diǎn) ξ 處導(dǎo)數(shù)為 0
             分析  函數(shù)在閉區(qū)間 [a，b] 連續(xù) → 函數(shù)必有最大最小值
              端值相等 → 只要函數(shù)不是常數(shù)，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在區(qū)間內(nèi)。
              函數(shù)在（a，b）內(nèi)可導(dǎo) → 內(nèi)部的最值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0
             請(qǐng)看看，分離證明，前段運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義，符號(hào)推理非常典型。后段邏輯有夾逼味道，十分簡(jiǎn)明。
        運(yùn)用洛爾定理，關(guān)鍵在于要對(duì)各種說(shuō)法的“端值相等”有敏感性。
        例 47    設(shè)函數(shù) f（x）二階可導(dǎo)，且函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)。試證明二階導(dǎo)數(shù) f "（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)。
        分析  “函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”，意味著兩個(gè)函數(shù)值相等！它倆組成一個(gè)區(qū)間，就滿足“端值相等”條件。可以應(yīng)用洛爾定理得到函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。
        設(shè)函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)由小到大依次為  x1，x2 ，x3
              順次取區(qū)間 [x1，x2]，[x2，x3]，分別在每個(gè)區(qū)間上對(duì)函數(shù)用洛爾定理，得到其一階導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)， ξ1，ξ2，且 ξ1 ＜ ξ2
             ξ1，ξ2 客觀存在。它們組成區(qū)間 [ξ1，ξ2] ，且f ′(x) 在此區(qū)間上端值相等。
        已知二階導(dǎo)數(shù)f "（x）存在，即 f ′(x)可導(dǎo)。對(duì)函數(shù) f ′(x) 用洛爾定理就得本題結(jié)論。
       本例同時(shí)展示了“逐階運(yùn)用洛爾定理”的思路。
       不要怕“點(diǎn)ξ”，不要去想它有多抽象?？陀^存在，為我所用。只是要留心它的范圍。
       (畫(huà)外音：怕啥子嘛，你不是學(xué)了哲學(xué)，學(xué)了辯證法嗎。)
             3 “壘寶塔” 游戲   
       如果函數(shù)n階可導(dǎo)，且函數(shù)有n +1個(gè)互不相同的零點(diǎn)。由此可以得到什么信息？
       我們可以象上例那樣，先把這n +1個(gè)零點(diǎn)由小到大排序編號(hào)，x1，x2 ，x3 ，…… ，x n ，x (n+1)
再順次組成n個(gè)區(qū)間，        [x1，x2]，[x2，x3]，…… ，[x n ，x (n+1)]
           分別在每個(gè)區(qū)間上對(duì)函數(shù)用洛爾定理，得到其一階導(dǎo)數(shù)的n個(gè)零點(diǎn)，且有大小排序
                                 ξ11 ＜ ξ12 ＜ …… ＜ξ1n
           同理，順次取區(qū)間 [ξ11，ξ12] ，[ξ12，ξ13] ，…… ，[ξ1（n－1），ξ1n]
           共計(jì)n－1個(gè)區(qū)間，分別對(duì)一階導(dǎo)函數(shù) f ′(x) 用洛爾定理，得到二階導(dǎo)數(shù)的n－1個(gè)零點(diǎn)，由小到大依次記為
                            ξ21，ξ22，……ξ2（n－1）
                                      ……            ……
            再一次次逐階運(yùn)用洛爾定理，最后可以得到結(jié)論：函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)。
       這是微分學(xué)的一個(gè)經(jīng)典題目，結(jié)論好似一個(gè)倒置的“楊輝三角形”。
       就當(dāng)是做游戲吧。一個(gè)“壘寶塔” 游戲。
       4   研考典型大題      
       考研數(shù)學(xué)有時(shí)在這個(gè)考點(diǎn)上出大題，基本模式為
       “ 已知 …… ，證明區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn) ξ ，使得一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)的等式成立 ?！?/strong>
       例 48    設(shè) f（x）在 [0，1] 上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且 f（1）= 0，試證（0，1）內(nèi)至少有一點(diǎn) ξ ，使得       f（ξ）+ ξf ′(ξ) =  0
             分析（綜合法） ξ只是一個(gè)特殊點(diǎn)。ξ就是方程   f（x）+ xf ′(x) =  0   的根。
        方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)  g（x）= f（x）+ x f ′(x)  的零點(diǎn)討論。
      （潛臺(tái)詞：我們有“介值定理”， “洛爾定理”兩件兵器哦。）
        由于關(guān)系式中有含導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，可以猜想，ξ  應(yīng)當(dāng)是我們對(duì)某個(gè)函數(shù)運(yùn)用洛爾定理后，得到的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。即 g（x）是某個(gè)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù) ？！
        再仔細(xì)觀察 g（x）的結(jié)構(gòu)，它多象是一個(gè)乘積函數(shù)求導(dǎo)公式啊。 （畫(huà)外音：求導(dǎo)不熟練，肯定反應(yīng)慢。）  
        實(shí)際上它的確是積函數(shù)  F（x）= x f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且恰好端值相等。
        證明時(shí)只需從“作輔助函數(shù)F（x）= x f（x），…… ”說(shuō)起。
        啊，典型的歐氏方法，困難的逆向思維。

考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)（12）中值公式不為算
        數(shù)學(xué)公式基本上可以分為兩類，一類用于計(jì)算。一類用于描述。      
        中值定理的公式（有限增量公式）就是描述型的數(shù)學(xué)公式。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生感到數(shù)學(xué)難學(xué)，一個(gè)基本原因在于觀念。以為數(shù)學(xué)公式都是計(jì)算公式，遇上了描述型的公式，他們毫無(wú)思想準(zhǔn)備。
        描述型的數(shù)學(xué)公式意義深遠(yuǎn)。從根本上說(shuō)，數(shù)學(xué)科學(xué)企圖描述世界的任何過(guò)程。
        描述型的數(shù)學(xué)公式并不難學(xué)。什么條件下可以用什么樣的公式描述，你記住公式，完整地寫(xiě)出來(lái)不就行了。
        微局部地研究函數(shù)，焦點(diǎn)在于討論增量。我說(shuō)微分是個(gè)新起點(diǎn)，指的就是，若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0可微，則函數(shù)實(shí)際上就有了一個(gè)（微局部的）新的表達(dá)式：
              f（x）= f (x0) + f ′(x0)(x－x0) +ο(Δx)（ 尾項(xiàng)，比Δx高階的無(wú)窮小）
        歷史上，這個(gè)表達(dá)式稱為，“帶皮阿諾余項(xiàng)的一階泰勒公式”。
        之所以是“微局部”的描述公式，是因?yàn)?strong>只有在x0的充分小的鄰域內(nèi)，“高階無(wú)窮小”的描述才有實(shí)際意義。
       不要認(rèn)為這有多抽象。這是線性化思維的一個(gè)自然結(jié)果，一個(gè)客觀事實(shí)。知道其存在，能對(duì)幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù)按過(guò)程寫(xiě)出來(lái)，就算掌握了。
       比如，在原點(diǎn)鄰近，可以有，sinx = x +ο(x)，（請(qǐng)對(duì)比sinx ～ x）。由此近一步有
           x － sinx = x －（x +ο（x））=ο（x） （潛臺(tái)詞：表達(dá)式嘛，那就可以代進(jìn)去。）
       這就是描述型的思路。它告訴我們，x趨于0時(shí)，x － sinx是比x高階的無(wú)窮小。
       在求極限時(shí)，我們只可以對(duì)（分子或分母）的“無(wú)窮小因式”作等價(jià)無(wú)窮小替換。但是，只要對(duì)運(yùn)算有利，我們就可以把函數(shù)的（帶高階無(wú)窮小尾項(xiàng)）表達(dá)式代到任何一個(gè)位置去。      
       在運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的過(guò)程中，這個(gè)思路沿著兩個(gè)方向延拓。
      （1）對(duì)尾項(xiàng)的描述能否更具體？
（      2）能否提高描述的精度？即能否把函數(shù)寫(xiě)成
                f（x）= 以x0為中心的n次多項(xiàng)式 + 尾項(xiàng)（比(Δx的n次方)高階的無(wú)窮?。?br />       《高等數(shù)學(xué)》在方向（1）上，講了“拉格郎日公式”； 在方向（2）上則講帶有“拉格郎日型尾項(xiàng)的泰勒公式”。（后者只征對(duì)考數(shù)學(xué)一，二的考生）。
        拉格郎日公式  若 函數(shù)在閉區(qū)間 [a，b] 上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn) ξ ，使得             f (b)－f (a) = f ′(ξ)（b－a）
        教科書(shū)上是增量商的形式，我更喜歡用乘積形式。
        定理說(shuō)的是區(qū)間，應(yīng)用時(shí)不能太死板。在滿足條件的區(qū)間內(nèi)取任意兩點(diǎn)，實(shí)際上也組成一個(gè)（子）區(qū)間。比如，在區(qū)間內(nèi)任意選定一點(diǎn)x0，對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)x，（潛臺(tái)詞：任給一點(diǎn)，相對(duì)不變。）也可以有
               f（x）－f（x0）= f ′(ξ)（x－x0） ，ξ 在x與x0之間，
即             f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0） ，ξ 在x與x0之間，
         （畫(huà)外音：一個(gè)x相應(yīng)有一個(gè)ξ，理論上構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系。）
         這樣一來(lái)，中值定理也給了函數(shù)一個(gè)新的表達(dá)式。帶 ξ 的項(xiàng)是尾項(xiàng)。（拉格朗日尾項(xiàng)）。
         思考題目時(shí)，只要看到有導(dǎo)數(shù)條件及函數(shù)增量式，你就可以考慮先用拉格朗日公式轉(zhuǎn)換描述方式，邁出第一步。再考慮如何利用導(dǎo)數(shù)條件及 ξ 所屬范圍處理尾項(xiàng)。
         例51  已知 f（x）在[0，1]可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)單增，試將f′(0)，f′(1),f (1)－f（0）三個(gè)數(shù)按大小排序。
         分析  導(dǎo)函數(shù)單增，都是導(dǎo)函數(shù)值才能比較大小。f（1）－f（0）是增量式，先用拉格朗日公式得，
                   f（1）－f（0）= f ′(ξ) ，0＜ξ＜1 ，寫(xiě)出這一步來(lái)就啥都明白了。
         不要怕ξ，它是區(qū)間內(nèi)客觀存在的一點(diǎn)。它的范圍有時(shí)（如上例）也能導(dǎo)出信息。
         例52          已知f（x）在某區(qū)間可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)有界，試證明 f（x）恒滿足  ∣Δy∣≤ C∣Δx∣
          分析  不知道已知區(qū)間是開(kāi)區(qū)間還是閉區(qū)間，反正已知有∣f ′(x)∣≤ M（正常數(shù)）
在區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn),視為常數(shù),運(yùn)用拉格朗日公式
                  f（x1）－f（x2）= f ′(ξ) (x1－x2 ) ，x1 ＜ξ＜ x 2
               等式兩端取絕對(duì)值，導(dǎo)函數(shù)有界的條件管住了ξ，取C = M ，本題結(jié)論成立
        多寫(xiě)才能熟悉。最好的基本練習(xí)是，把上例中的函數(shù)具體取為正弦，余弦，指數(shù)函數(shù)，反正切等，自己設(shè)定區(qū)間，求出M值，重復(fù)寫(xiě)出證明過(guò)程。
        例53  已知當(dāng) x 趨于+∞時(shí)，lim f′(x) = e ，求 lim （f（x+1）－f（x））
        分析  對(duì)任意給定的x ,所求極限的變量式，恰是函數(shù) f（t）在點(diǎn) x 與 x + 1 的增量式。先用拉格郎日公式改變其描述方式。
      （畫(huà)外音：分層次思維，走一步，寫(xiě)一步，再觀察。）
                 f（x+1）－f（x）= f ′(ξ) ，x ＜ξ＜ x +1      ，實(shí)際上 ξ= ξ（x）
        顯然，當(dāng) x 趨于+∞時(shí)，必有 ξ 趨于+∞；故， 原極限 = lim f ′(ξ) = e         最后的答案來(lái)自唯一性定理。
（      潛臺(tái)詞：無(wú)論ξ（x）以怎樣的方式趨向無(wú)窮，唯一性定理都管住了它。）
       例54         試證明 x ＞ 0 時(shí)，ln（1 + x）＜ x
              分析   ln（1+x）= ln（1 + x）－ ln1 = x/ξ ＜ x  ，1＜ξ＜ x+1
               實(shí)際計(jì)算步驟為，取函數(shù)  y（t）=  ln（t），則 y′(t)= 1 / t    進(jìn)而 y′(ξ) = 1 /ξ  , 得到結(jié)論只用了 ξ＞1
            “添零項(xiàng)獲得增量”。創(chuàng)造條件運(yùn)用拉格郎日公式。考研中心認(rèn)為，你一定會(huì)這個(gè)小技術(shù)。

考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)（13）圖形特征看單調(diào)      
        用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù),中值定理是座座橋梁。拉格郎日公式有兩個(gè)推論。使它更好地發(fā)揮橋梁作用。
        1．拉格郎日公式的兩個(gè)推論        
        推論（1） 可導(dǎo)函數(shù)恒為常數(shù)的充分必要條件是其導(dǎo)函數(shù)恒為零。
        推論（2） 設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù) f ′(x)＞ 0 ，則f(x)在此區(qū)間上單增。
        推論(1)是一個(gè)很好的“相對(duì)比較”練習(xí)題。即任選一點(diǎn)x0 ，視為不變。再任給一點(diǎn)x ，比較兩個(gè)函數(shù)值的差。我們就可以應(yīng)用拉格郎日公式，并聯(lián)系已知條件得到結(jié)論。
        由推論（1）得到“證明兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)恒等”的程序：
        “在某區(qū)間上證明可導(dǎo)函數(shù) f(x) ≡ g(x) ”—→ 作F（x）= f(x)－ g(x)，F(xiàn)（x）可導(dǎo)
        —→ 驗(yàn)證  fˊ(x)－ gˊ(x) ≡ 0  ，證得   f(x)－ g(x) = 常數(shù)
        —→ 選一個(gè)特殊點(diǎn)，計(jì)算驗(yàn)證這個(gè)常數(shù)就是0

             為什么推論(2)中，“導(dǎo)函數(shù)f ′(x)＞ 0”不是可導(dǎo)函數(shù)單增的充分必要條件呢？這是因?yàn)閱卧龅暮瘮?shù)也可能在若干個(gè)孤立點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)為0 。比如，立方函數(shù)單增，而它的導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)為0 。
       （潛臺(tái)詞：要注意函數(shù)單增的定義啊，自變量變大，相應(yīng)的函數(shù)值一定也變大。）
       例57   設(shè)函數(shù)f(x)在實(shí)軸上單增，可導(dǎo)，則 （A）在實(shí)軸上恒有 fˊ(x)＞0       （B）對(duì)任意x ，fˊ(－x)≤0
                     （C） 函數(shù)f(－x)在實(shí)軸上單增。     （D）函數(shù)－f(－x)在實(shí)軸上單增。
        分析  由已知信息只能推得 fˊ(x)≥0，（A）錯(cuò)。
               fˊ(－x)是個(gè)復(fù)合函數(shù)。其結(jié)構(gòu)是y = fˊ(u)，u = －x，故 fˊ(－x) ≥0；（B）錯(cuò)。
               f(－x) 的導(dǎo)數(shù)為  －fˊ(－x)，由此知（C）錯(cuò)。應(yīng)選（D）。

        2. “逐階說(shuō)單調(diào)”         
              單調(diào)性是函數(shù)最重要的圖形特征。如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)分段單調(diào)，那么，單調(diào)性改變的分界點(diǎn)，就是函數(shù)的極值點(diǎn)。這就自然而然地產(chǎn)生了極值點(diǎn)的“第一判別法”。
        一個(gè)很好玩的游戲是“逐階說(shuō)單調(diào)”。
       例58   設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0鄰近三階連續(xù)可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0，其一，二階導(dǎo)數(shù)都為0，而三階導(dǎo)數(shù)不為0，你能由此得到什么樣的信息？
        分析 （1）不仿設(shè) f "′（x0）＞0，三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在點(diǎn)x0鄰近三階導(dǎo)數(shù)全大于零。
        （潛臺(tái)詞：體驗(yàn)極限，近朱者赤。連續(xù)函數(shù)一點(diǎn)大于0則一段大于0）
       （2）三階導(dǎo)數(shù)大于零，則二階導(dǎo)數(shù)單增。
        又因?yàn)閒 "（x0）= 0 ，故當(dāng)x由左側(cè)趨近點(diǎn)x0時(shí)，f "（x）由負(fù)單增到0，從x0點(diǎn)再向右，f "（x）單增為正。
        x0 兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)反號(hào)，圖形上點(diǎn)（x0，f (x0)）是拐點(diǎn)。      
        (3）在x0點(diǎn)左側(cè)，一階導(dǎo)數(shù)單減，且由正單減到0；在x0點(diǎn)右側(cè)，一階導(dǎo)數(shù)單增，且由0單增為正。f ′(x0) = 0是一階導(dǎo)數(shù)的極小值。一個(gè)孤立的零點(diǎn)。
       （4）函數(shù)f在點(diǎn)x0鄰近單增。         （畫(huà)外音：其導(dǎo)數(shù)有一個(gè)孤立的零點(diǎn)。）
        逐階說(shuō)單調(diào)，這是基本功。可以算是一個(gè)基本推理集成塊。它同時(shí)展示了討論連續(xù)函數(shù)符號(hào)的基本方法。
        如果設(shè) f 在點(diǎn)x0鄰近四階連續(xù)可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0，其一，二，三階導(dǎo)數(shù)都為0，而四階導(dǎo)數(shù)不為0，則練習(xí)逐階說(shuō)單調(diào)后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，x0一定是極值點(diǎn)。

       例59    已知正函數(shù)f與g都在[a，b] 上可導(dǎo)，且f ′(x) g (x)－f (x)g ′(x)＜0 ，則對(duì)區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)x，有
           （A）f (x) g (b)＞ f (b) g (x)          （B） f (x) g (a) ＞f (a)g (x)
                     （C）f (x) g (x)＞ f (b) g (b)          （D）f (x) g (x)＞ f (a) g (a)
             分析  已知關(guān)系式的左端象是“商函數(shù)”求導(dǎo)公式的分子。分母可配g (x)的平方，表明f (x)/ g (x)單減。也可以配f (x)的平方，表明g (x)/ f (x)單增。
       （A）即是f (x)/ g (x) ＞ f (b)/ g (b )，只要商函數(shù)f (x)/ g (x)單減，它就顯然是對(duì)的。應(yīng)該選（A）。
        例60    設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間 [a，b] 上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且端值都為零，但在（a，b）內(nèi)至少一點(diǎn)c處為正。試證明（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f "（ξ）＜ 0
             分析  沒(méi)有相關(guān)的高階導(dǎo)數(shù)信息。試用反證法。設(shè)（a，b）內(nèi)恒有f "（x）≥ 0，則一階導(dǎo)數(shù)“不減”。
      （潛臺(tái)詞：不知道f "（x）是否只在某些孤立點(diǎn)上為0，就不能說(shuō)f ′(x)單增。）
       對(duì)函數(shù)f用洛爾定理得知（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)η，使得   f ′(η) = 0
              f ′(x) “不減”，在（a，η）內(nèi)必有 f ′(x)≤ 0，f “不增”，而起點(diǎn)處f (a)= 0，只有f (x)≤ 0；
        f ′(x) “不減”，在（η，b）內(nèi)必有f′(x) ≥ 0，f 也“不減”，但已知f (b) = 0，函數(shù)還是只能非正。
這和已知f (c)＞0矛盾。本題結(jié)論成立。
     （畫(huà)外音：構(gòu)造法的敘訴方式。類似于做了一次“逐階說(shuō)單調(diào)”游戲。）
       方法二  也可以先順次在區(qū)間（a，c）及（c，b）上分別用拉格郎日公式，得到兩個(gè)客觀存在的點(diǎn)。已知f (c)是正數(shù)，老老實(shí)實(shí)地寫(xiě)出兩個(gè)式子，應(yīng)該能確定這兩點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)值各自的符號(hào)。試試在這兩點(diǎn)組成的區(qū)間上再對(duì)一階導(dǎo)函數(shù)用拉格郎日公式
      *例 61     設(shè)f (0) = 0 ，f ′(x)在（0，+∞）上單增，試證明函數(shù)g (x)= f (x)/x也在區(qū)間（0，+∞）上單增。
       分析  證單調(diào)，先求導(dǎo)。 g ′(x) =（x f ′(x)－f (x)）∕x平方
            分母恒正。但是無(wú)法判定分子的符號(hào)。沒(méi)有二階導(dǎo)數(shù)信息，不能再說(shuō)單調(diào)討論分子符號(hào)（ “二次討論”）。
        已知f ′(x) 單增，兩個(gè)導(dǎo)數(shù)值可望比較大小。又已知f的一個(gè)零點(diǎn)與一階導(dǎo)數(shù)信息?？紤]用中值定理改變f的描述方式。即             f(x) = f ′(ξ)x ，0＜ξ＜ x ，（潛臺(tái)詞：一個(gè)x相應(yīng)有一個(gè)ξ，ξ= ξ（x））
代入分子后，     有 （x f ′(x)－f (x)）= x（f ′(x)－f ′(ξ) ）＞ 0
            ξ 的范圍與導(dǎo)數(shù)單增的條件就管住了ξ 。你也可以說(shuō)是用了“添零項(xiàng)獲得增量”技術(shù)。
       描述性的公式，在應(yīng)用中加深理解。就學(xué)了那么一點(diǎn)點(diǎn)。練他個(gè)滾瓜爛熟，遇到問(wèn)題時(shí)，一看條件，你就能想到它。

考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)（14）單調(diào)法是重頭戲
       有了初始點(diǎn)x0的信息，又知道函數(shù)的單調(diào)性，就能判定函數(shù)的符號(hào)。
            “若函數(shù)f (x)單增且f (x0) ≥ 0 ，則x ＞x0  時(shí) f (x)＞0”
             其實(shí)在（13）段中“逐階說(shuō)單調(diào)”，已經(jīng)說(shuō)了好多花樣。這里還可以拓展的是：
      （1）若函數(shù)單增但只在x＞x0 時(shí)有定義，只要f (x0+0) ≥ 0，則f (x)＞0
           （畫(huà)外音：這種情形下,數(shù)f (x0+0)稱為函數(shù)的“下確界”。即最大的下界。）
       （2）若函數(shù)f (x)單減且當(dāng)x趨于 +∞ 時(shí)為無(wú)窮小，則f (x)＞ 0
             這個(gè)符號(hào)邏輯非常簡(jiǎn)明。因而盡管本科教材上寫(xiě)得較少，考研數(shù)學(xué)卻經(jīng)常在這個(gè)點(diǎn)上出大題。我把這個(gè)典型題型稱之為“用單調(diào)法證明簡(jiǎn)單的函數(shù)不等式?！?br />         要證明 x＞x0 時(shí)，f (x) ＞ g (x)，轉(zhuǎn)化為證明 F = f (x)－g (x) ＞0 ，到底行不行，先看有沒(méi)有“初始信息”，再對(duì)F求導(dǎo)?？磳?dǎo)數(shù)正負(fù)說(shuō)單調(diào)，兩者結(jié)合定符號(hào)。

       例64     試證在（0，π/2）內(nèi) ，sin x ＞ 2x/π
              分析  作 F = sinx －2x/π，F(xiàn)在 [0，π/2] 連續(xù)。要證，F(xiàn)在（0，π/2）內(nèi)恒正。
        顯然，F(xiàn)ˊ= cos x－2/π，導(dǎo)函數(shù)在（0，π/2）內(nèi) 有一個(gè)零點(diǎn)η；要分兩段“說(shuō)單調(diào)判符號(hào)”。
        在前段（0，η]，F(xiàn)ˊ≥ 0 ，等號(hào)只在η成立。F單增，初值F(0)=0 ，故F（x）＞0
              在后段（η，π/ 2 ） ，F(xiàn)ˊ＜ 0 ，F(xiàn)單減 ，終值F(π/2) = 0 ，同樣有F（x）＞0
               方法二  在有駐點(diǎn)情形，要證明函數(shù)非負(fù)，還可以考慮證明其最小值非負(fù)。
        本題中，在（0，π/2）內(nèi) ，駐點(diǎn)唯一，F(xiàn)" =－sinx ＜0，這是唯一的極大點(diǎn)。
         唯一的極大就是最大。最小值一定落在區(qū)間端點(diǎn)處。而F（0）= F（π/2）= 0

             分析三（反證法） 已有F（0）= F（π/2）= 0；如果F在（0，π/2）內(nèi)不定號(hào)，就必定還會(huì)有零點(diǎn)。這就能作“壘寶塔”游戲，證得二階導(dǎo)數(shù)F"在（0，π/2）內(nèi)有零點(diǎn)。實(shí)際計(jì)算知矛盾。故F定號(hào)。再計(jì)算F（π/6），即知F恒正。
       方法四  作F = sinx/x －2/π ,
            這有兩點(diǎn)新意。首先，函數(shù)F在原點(diǎn)無(wú)定義，但右極限為1 。
       其次，F(xiàn)的導(dǎo)函數(shù)，就是前項(xiàng)商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分母為 xconx－sinx ，難以判定符號(hào)。那就從頭再來(lái)。
       設(shè)G = xconx－sinx ，G（0）= 0 ；再求導(dǎo)，Gˊ=－sinx   在（0，π/2）內(nèi)Gˊ＜0，G（x）單減，G（x）＜0
           （潛臺(tái)詞：沒(méi)啥了不起，“說(shuō)單調(diào)討論符號(hào)”是我們的拿手戲。）
        我給這種情形取名為“二次討論”。
        我讀本科時(shí)，同學(xué)們?cè)谒奚崂锉荣?。造一道不等式證明題，看誰(shuí)的逐階說(shuō)單調(diào)的階數(shù)高。記得優(yōu)勝者出的題目需要“五次討論”。
      （畫(huà)外音：哇噻，你們學(xué)數(shù)學(xué)的就這樣玩？?。?br />
       例65        設(shè) 函數(shù)f(x)在實(shí)軸上二階可導(dǎo)，且 f "（x）＞0    ；又已知x趨于0時(shí)，lim  f (x)/ x = 1 ，
試證明  f (x)≥ x
           分析 （1）f "（x）＞0，則一階導(dǎo)數(shù)單增。
      （2）分值有限，在大題中，可以直接說(shuō)：“從已知極限得f (0) = 0，f ′(0)=1”。預(yù)先背熟基本推理的好處就在這理。
      （3）已知極限還暗示，原點(diǎn)是個(gè)特殊點(diǎn)。仔細(xì)再看，要證的“等號(hào)”就在原點(diǎn)成立。本題如果用單調(diào)法，得選原點(diǎn)為初始點(diǎn)分段討論。
       比如，在（－∞，0），作F = f (x) － x ，F(xiàn)ˊ= f ′(x) － 1 ，F(xiàn)" = f "（x）＞0一階導(dǎo)數(shù)單增而 Fˊ(0) = 0，在（－∞，0）內(nèi)Fˊ(x)恒負(fù)；
       函數(shù)F(x)單減而F(0) = 0  ，在（－∞，0）內(nèi)F(x)恒正。
      （4）用最值法——實(shí)際上，作F = f (x) －x后 ，晃一眼導(dǎo)數(shù)，就會(huì)敏感地想到極值點(diǎn)。一階導(dǎo)數(shù)為零，二階導(dǎo)數(shù)為正的點(diǎn)，必是函數(shù)的極小點(diǎn)。唯一的極小點(diǎn)一定是最小點(diǎn)。函數(shù)的最小值為零，函數(shù)非負(fù)。
       (5) 用泰勒中值定理—— 由（2）出發(fā)，可以考慮選0為中心點(diǎn)，先用泰勒中值定理給函數(shù)一個(gè)表達(dá)式
                      f (x)  = x +（1/2）f "（ξ）x平方，ξ 在0與x之間
這就是說(shuō)，對(duì)任意一點(diǎn)x≠0，總有 f (x)  = x + 正數(shù)（尾項(xiàng)），自然有f (x)≥x
           試探就是研究。中值定理只能給出一個(gè)描述方式。能否解決問(wèn)題，寫(xiě)出來(lái)再觀察。

       例66    設(shè) b＞a＞e ，證明，a的b次方 ＞ b的a次方
       分析  盡管我們習(xí)慣于用x表示（自）變量，為了完成證明，不仿把不等式看成是“冪指型”的，即底數(shù)，指數(shù)都是變量。處里“冪指型”問(wèn)題，通常先看能否取對(duì)數(shù)。對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，本題即證 blna ＞ alnb ，再單把a(bǔ)看成自變量，作F（a）= blna－ alnb，顯然F（b）= 0，就可以在（b，e）上使用單調(diào)法了。
     （畫(huà)外音：要是不習(xí)慣，就先把a(bǔ)換成x嘛。）
       例67       試證明 x > 0 時(shí) ， （x平方－1）lnx ≥（x－1）平方
       分析  本題有潛在的分界點(diǎn)x = 1，且x = 1時(shí)所證關(guān)系式中的等號(hào)成立。問(wèn)題歸結(jié)為
       證明  0 < x < 1時(shí) ，（x+1）lnx ＜（x－1）而  x > 1時(shí) ，（x+1）lnx ＞（x－1）
       為了求導(dǎo)及討論導(dǎo)數(shù)符號(hào)方便，我們證明
               0 < x < 1時(shí)， lnx ＜（x－1）∕（x+1） ； x > 1時(shí) ，lnx ＞（x－1）∕（x+1）
       作 F = lnx －(x－1)∕(x+1)，F(xiàn)(1) = 0，  （潛臺(tái)詞：F（0+）不存在。）
       易算得x > 0時(shí) ，F(xiàn)ˊ(x)＞0，分段說(shuō)單調(diào)討論符號(hào)就能完成本題證明。
       方法完全程序化了，具體問(wèn)題還得注意具體特點(diǎn)。

[ 本帖最后由 戰(zhàn)地黃花 于 2010-3-28 18:18 編輯 ]

-huyu-

說(shuō)一個(gè)小問(wèn)題 例44
           記 F(h)= a f（h）+ b f（2h）-f（0），F(xiàn)連續(xù)。于是（用“基本推理”）由極限式與連續(xù)性推出   
          F(0)= lim F(h)=（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有   a + b + 1 = 0
     我怎么覺(jué)得 應(yīng)該是a+b-1=0啊

hongtaiyang

戰(zhàn)地黃花

現(xiàn)在才看到提問(wèn)，這是算微分。函數(shù)的微分與增量是等價(jià)無(wú)窮小。

ui123256

戰(zhàn)地老師的講座太精彩！

sdc2010

這里是什么意思？

戰(zhàn)地黃花

對(duì)。運(yùn)用“單調(diào)法”證明不等式，需要有初始條件配合。如果左端是開(kāi)的，可以用左端點(diǎn)的右極限。不存在，只好看終端。

sdc2010

你們都太專業(yè)術(shù)語(yǔ)了，也就是說(shuō)判斷左右任意一個(gè)端點(diǎn)處的值即可，針對(duì)這個(gè)題，左邊不存在，所以用右端點(diǎn)的值比較對(duì)吧？

戰(zhàn)地黃花

判斷時(shí)往往先左后右。這說(shuō)明只好在右端點(diǎn)1去看有無(wú)配合條件。

sdc2010

麻煩解釋一下這個(gè)地方

[ 本帖最后由 sdc2010 于 2010-10-6 15:35 編輯 ]