【復試大綱】中國海洋大學數學科學學院考研復試大綱

海大考研校

F1101 綜合考試（四門科目中任選二門）

閉卷考試，滿分為 100 分，考試時間：120 分鐘。綜合試卷包括實變函數、 計算方法、常微分方程、概率論與數理統計四門科目，考試范圍為上述科目的基 本內容，考試時考生在以上四門科目中任選二門。復試內容大綱如下：
①實變函數

1考試性質

實變函數是數學相關專業碩士研究生入學考試復試筆試科目。

2考查目標

實變函數是近代分析數學的基礎，是數學分析的延續與拓廣。考試以考查基 本知識為主，考核對重要定理的理解和應用。旨在測試考生對集合論、可測集、 可測函數、可積函數等基本定義概念的理解和掌握。要求考生理解實變函數的基 本概念和基本理論；掌握其基本論證方法和常用結論；具備較強的邏輯推理能力 及初步的應用能力。

3考試形式

閉卷考試，本部分滿分為 50 分。

試卷結構：客觀題和簡答題約占 50%，證明題約占 50%。

4考試內容

（一）集合論

1.集合的各種運算，上、下限集的定義

2.集合的對等，集合的基數，集合的可列性；

3.開集、閉集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性質；點集的內部、導 集、閉包、邊界；Cantor 三分集的結構和性質；

4.點到集合的距離，集合間的距離。

（二）可測集

1.外測度、測度和可測集的概念及其性質，集合可測性的判別方法；

2.開集、閉集的可測性，以及它們與可測集之間的聯系。

（三）可測函數

1.可測函數的概念及其性質；

2.函數可測性的判別方法，其與簡單函數的聯系；

3.可測函數列幾種收斂性之間的關系（包括處處收斂、幾乎處處收斂、一致 收斂、近一致收斂、測度收斂）；

4.可測函數和連續函數的聯系 ；

5.葉果洛夫（Egoroff）定理、里斯(Riesz)定理、魯津(Rusin)定理的含義 及應用；

（四）Lebesgue 積分

1.Lebesgue 積分的定義及其性質，函數可積性的判定；

2.積分收斂定理（勒維(Levi)定理，法杜(Fatou)定理和 Lebesgue 控制收斂 定理，Vitali 定理）及應用；

3.Riemann 積分與 Lebesgue 積分之間的區別和聯系；Fubini 定理。

5是否需要計算器

否。

②計算方法

1考試性質

計算方法是數學相關專業碩士研究生入學考試復試筆試科目。

2考查目標

要求考生理解數值計算的基本方法及基本理論，掌握基本數值方法的理論分 析技巧, 具有把數學問題近似求解和編程實現能力。本科目主要考查考生對計算 數學基礎理論的掌握及考生的基本數值分析能力。從如下三方面測評考生的計算 數學基本素質：

1.基本概念和基本理論

2.基本數值方法的構建及分析

3.綜合算法分析及應用

3考試形式

閉卷考試，本部分滿分為 50 分。

試卷結構：

以計算、證明和算法分析為主，主要包括 數值逼近的基本內容，約占 50%；代數方程的數值方法及分析，約占 30%；常微分方程數值解法及分析，約占 20%。

4考試內容

（一）數值逼近基礎

1．誤差（誤差來源，誤差限，有效數字，誤差傳播，避免誤差的注意事項）

2．插值法（Lagrange 插值，Hermite 插值，分段插值，分段 Hermite 插值, 樣條插值）及誤差分析

3．數值逼近與數據擬合法（最佳逼近，最小二乘原理，多變量擬合，正交 多項式擬合）

4．數值積分與微分（梯形、Simpson 公式及誤差估計，復化公式及誤差估 計，加速公式與 Romberg 求積，Gauss 型公式，數值微分公式等）

（二）代數方程數值方法

1．線性方程組的直接法 (高斯消去法、主元消去法、矩陣分解法、誤差分 析)

2．線性方程組的迭代法 (幾種常用簡單迭代法收斂性及誤差估計、判別收 斂的條件、收斂速率)

3．矩陣特征值和特征向量的計算 (冪法、反冪法、QR 算法、Jacobi 方法)

4．非線性代數方程的解法 (對分區間法、迭代法、迭代收斂的加速、Newton 法、弦位法、拋物線法、擬牛頓法)

（三）常微分方程數值方法

1．幾種簡單的數值解法、R-K 方法、線性多步法、預估校正公式、自動選 取步長及事后估計，穩定性理論

2．高階方程與一階方程組的解法

5是否需要計算器

否。

③常微分方程

1考試性質

常微分方程是數學相關專業碩士研究生入學考試復試筆試科目。

2考查目標

要求考生能正確理解常微分方程的基本概念，掌握一些基本理論和各種類型方 程求解的主要方法，具有一定的解題能力。同時，要求考生具有分析與解決問題的能力。

3考試形式

閉卷考試，本部分滿分為 50 分。

試卷結構：客觀題與計算題約占 50%；綜合題與證明題約占 50%。

4考試內容

考試內容：初等積分法；基本定理；一階線性微分方程組；n 階線性微分 方程；定性理論與穩定性理論簡介；一階偏微分方程初步。

1．初等積分法部分：要求考生能用初等（積分）解法求解常微分方程的可 積類型，掌握各種類型的解法，具有判斷一個給定方程的類型和正確求解的能力。重點是求解方法，難點是識別方程的類型以及熟練掌握求解方法。

2．基本定理部分包括解的存在唯一性定理，解的延展定理，解對初值的連 續依賴性定理和解的可微性定理，構成了常微分方程主要理論部分。解的存在唯 一性定理表明，若右端函數滿足連續和利布希茲條件，則保證方程的解存在性與 唯一性。它是常微分方程理論中最基本的定理，有其重大的理論意義。另一方面，由于能求得精確解的方程不多，所以該定理給出的求近似解法就具有重要的實際 意義。解的延拓定理及解對初值的連續依賴性與可微性定理揭示了微分方程的重 要性質。要求考生必需理解上述定理的條件和結論，掌握證明方法，能運用定理 證明有關問題。重點是證明的思路和方法，特別是逐次逼近法，難點是貫穿定理 證明過程的利布希茲條件運用和證明過程中不等式技巧的把握。

3．一階線性微分方程組是常微分方程理論中的重要部分，無論從實用的角 度或從理論的角度來說，一階線性微分方程組所提供的方法和結果都是非常重要 的。要求考生：

(1). 掌握線性微分方程組的一般理論，把握解空間的代數結構；

(2).基解矩陣求法。一般齊次線性微分方程組的基解矩陣是難以通過積分求得， 但當系數矩陣是常系數矩陣時，可以通過代數方法（Jordan 標準型、矩陣指數） 求出基解矩陣。

(3).重點掌握一階線性微分方程組的解空間結構和常系數線性微 分方程組的解法，難點是證明一階齊次常微分方程組的解空間是 n 維線性空間 和一階常系數齊次或非齊次微分方程組的求解。

4．n 階線性微分方程是值得重視的方程，這不僅僅因為 n 階線性微分方程 的一般理論已被研究的十分清楚，而且它是研究非線性微分方程的基礎，它在物 理、力學和工程技術中也有廣泛的應用。要求考生重點掌握 n 階線性微分方程的 基本理論和常系數 n 階線性微分方程的解法，對于高階方程的降階問題和二階線 性方程的冪級數解法作簡單了解。熟悉 Laplace 變換是求解 n 階常系數線性微分 方程初值問題的方法。把握 n 階線性微分方程與一階線性微分方程組的關系， 能夠將一階線性微分方程組的有關結果推廣到 n 階線性微分方程，以統一的觀 點理解這兩部分的內容。

5．定性理論與穩定性理論簡介主要介紹定性理論和穩定性理論，定性理論 產生與發展與生產實踐和物理、力學以及工程技術問題緊密聯系，它主要研究軌 線在相平面或相空間的分布以及極限環或周期軌的穩定性和不穩性等問題。穩定 性理論研究平衡態的穩定性問題，主要研究方法是李雅普諾夫第一方法和第二方 法。在現代科學技術中，無論是定性理論還是穩定性理論都有著極其廣泛的應用。要求學生對定性理論和穩定性理論有所了解，能夠用李雅普諾夫第二方法判斷平 衡點的穩定性問題。

6.一階偏微分方程部分：只要考生對一階偏微分方程的理論和方法有所了 解，會求解簡單的一階線性齊次偏微分方程和一階擬線性非齊次偏微分方程問 題。

5是否需要計算器

否。

④概論論與數理統計

1考試性質

概率論與數理統計是數學相關專業碩士研究生入學考試復試筆試科目。

2考查目標

要求學生掌握概率論與數理統計的基本理論和基本方法。對相關定理和統計 方法有較為深刻的理解，具有分析問題和解決問題的基本技能，為深入學習隨機 過程和高級數理統計知識做好必要的準備。

本科目旨在考查考生對概率論與數理統計基礎理論、基本知識的掌握情況。主要從如下三方面測評考生在概率論與數理統計方面的能力：

1、基本概念和基本理論的理解、掌握；

2、基本解題能力；

3、綜合運用理論知識分析問題、解決問題的能力。

3考試形式

本考試為閉卷考試，滿分為 50 分。

試卷結構：試卷由試題和答題紙組成，答案必須寫在答題紙上。概率論部分 與數理統計部分各占分值 50%。其中：基礎知識和基本概念理解部分約占分值 30%；運用所學知識經過基本分析解決問題部分約占分值 40%；運用基本理論和 基本方法綜合分析問題解決問題部分約占分值 30%。

4考試內容

（一）概率論部分

1、概率論的基本概念：樣本空間，隨機事件，概率，條件概率，獨立性。

2、隨機變量及其分布函數，密度函數。

3、二元隨機變量，分布函數，條件分布，邊際分布，協方差，相關系數， 獨立性。

4、數字特征，重要不等式。

5、特征函數，大數定律，中心極限定理。

（二）數理統計部分

1、數理統計基本概念：總體，個體，樣本，統計量，經驗分布函數，抽樣 分布定理，分位數。

2、估計理論：矩法估計，極大似然估計，無偏性，有效性，相合性，一致 最小方差無偏估計，區間估計，貝葉斯估計。

3、假設檢驗：正態總體參數的假設檢驗，指數分布與二項分布參數的假設 檢驗。非參數假設檢驗包括：總體分布的假設檢驗，獨立性假設檢驗。

4、方差分析：單因素方差分析，雙因素方差分析。

5、回歸分析：線性模型，最小二乘估計，最小二乘估計的性質，線性模型 中回歸系數的假設檢驗。

5是否需要計算器

否。

F1102 概率論與數理統計

1考試性質

概率論與數理統計是應用統計碩士專業學位研究生入學復試筆試科目。

2考查目標

概率論與數理統計是研究自然界和人類社會普遍存在的隨機現象統計規律 的學科，有著廣泛地應用，也是統計學專業的重要基礎課程。本科目的考試旨在 考查學生掌握概率論與數理統計的基本概念、基本理論和基本方法，綜合運用概 率統計的思想和方法分析問題、解決問題的能力。測試內容包括如下三個方面：

1.基本概念和基本理論的理解、掌握；

2.基本解題能力；

3.綜合運用理論知識分析問題、解決問題的能力。

3考試形式

（1）考試形式及考試時間：閉卷考試，答題方式為筆試。滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。

（2）試卷分值構成：基礎知識和基本概念理解部分約占分值 35%；運用所學知識經過基本分析解決問題部分約占分值 35%；綜合運用基本理論和方法分析問題與解決問題部分約占分值 30%。 注：概率論部分與數理統計部分分別約占整個試卷分值的 50%。

4考試內容

（一）概率論部分

1.樣本空間，隨機事件，概率，條件概率，獨立性，全概率公式，貝葉斯公 式。

2.一元離散型和連續型隨機變量，分布律，分布函數，密度函數，隨機變量 函數的分布。

3.二元離散型和連續型隨機變量，分布函數，邊際分布，條件分布，相互獨 立，隨機變量函數的分布。

4.數學期望，方差，協方差，相關系數，切比雪夫不等式。5.大數定律，中心極限定理。

（二）數理統計部分

1.數理統計基本概念：總體，個體，樣本，統計量，經驗分布函數，抽樣 分布定理，分位數。

2.估計理論：矩估計，極大似然估計，無偏性，有效性，相合性，區間估 計。

3.假設檢驗：正態總體參數的假設，非參數假設檢驗。

4.方差分析：單因素方差分析，兩因素方差分析。

5.回歸分析：線性模型，最小二乘估計，線性模型中回歸系數的假設檢驗， 預測與控制。

5是否需要計算器

否。